Cara Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar Untuk X Mendekati Suatu Nilai Tertentu

CARA MENENTUKAN NILAI LIMIT FUNGSI ALJABAR UNTUK X MENDEKATI SUATU NILAI TERTENTU 

Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Pada laman sebelumnya, kita sudah membahas pengertian limit fungsi. Limit fungsi dapat diartikan sebagai fungsi yang mendekati suatu nilai tertentu ketika variabel dari fungsi tersebut mendekati suatu nilai berhingga atau nilai yang dapat dihitung.

Limit sendiri biasa dituliskan dengan simbol “Lim”. Bentuk umum dari limit fungsi adalah sebagai berikut.

Rumus Limit Fungsi

Karena kita berbicara tentang limit fungsi aljabar, maka f(x) tentunya merupakan fungsi aljabar. Lalu, bagaimana cara untuk menentukan nilai limit dari sebuah fungsi aljabar f(x) untuk x mendekati suatu nilai tertentu tersebut?

Untuk menentukan nilai limit dari sebuah fungsi f(x) dimana x mendekati suatu nilai tertentu, misalkan a, maka ada beberapa langkah yang harus dilakukan antara lain:

Langkah 1:

Substitusikan atau ganti x = a pada fungsi f(x) sehingga didapati \(\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right )\) = \(f\left(a \right )\). Jika f(a) tidak berbentuk   \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\),  \(\infty\) - \(\infty\)   (bentuk tak tentu), maka f(a) adalah nilai limitnya. Namun jika f(a) merupakan salah satu dari tiga bentuk tersebut, maka kita lanjut pada langkah kedua.

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 1:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x\rightarrow4}\left(2x - 3\right) \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x\rightarrow4}\left(2x - 3\right) \)   =  2(4) – 3

                               =  8 – 3

                               =  5

Jadi, nilai \(\lim_{x\rightarrow4}\left(2x - 3\right) \)  = 5.

Contoh 2:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2 + 6}{5} \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2 + 6}{5} \)          =  \(\frac{3^2 + 6}{5}\)

                               =  \(\frac{9 + 6}{5}\)

                               =  \(\frac{15}{5}\)

                               =  \(3\)

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x^2 + 6}{5} \) = 3.

Pada contoh 1 dan contoh 2 di atas, hasil perhitungan limit didapati bilangan yang tidak dalam bentuk  \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\),  \(\infty\) - \(\infty\)   (bentuk tak tentu), sehingga nilai limit bisa langsung ditentukan dan kita tidak perlu melakukan langkah kedua. Namun jika dalam melakukan perhitungan tersebut didapati hasilnya adalah salah satu dari ketiga bentuk tersebut, maka kita wajib melakukan langkah yang kedua.

Langkah 2:

Jika pada langkah 1 didapati f(a) berbentuk \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\),  \(\infty\) - \(\infty\)   (bentuk tak tentu), maka kita harus melakukan pemfaktoran atau mengalikan dengan akar sekawan terhadap fungsi f(x) yang kita miliki tadi.

Metode pemfaktoran

Ketika kita mendapati fungsi f(x) berbentuk pecahan dengan \(\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right )\) = \(f\left(a \right )\) = \(\frac{0}{0} \), maka perhitungan limit dapat dilakukan dengan cara melakukan pemfaktoran terlebih dahulu terhadap fungsi f(x). Setelah dilakukan pemfaktoran, maka kita dapat mensubstitusikan kembali x = a ke fungsi yang kita dapati dari pemfaktoran tersebut.

Penjelasan tersebut dapat kita rumuskan dalam bentuk sebagai berikut:

Rumus Pemfaktoran Limit

Dengan \(P \left(x\right)\neq 0\) dan \(H \left(x\right)\neq 0\)

Untuk mempermudah dalam memahami penjelasan dan rumus di atas, perhatikanlah contoh soal di bawah ini.

Contoh 3:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x - 3}{4x - 12} \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x - 3}{4x - 12} \)        =  \(\frac{3 - 3}{4\left(3\right) - 12} \)

                              =  \(\frac{3 - 3}{12 - 12}\)

                              =  \(\frac{0}{0}\)

Karena didapati hasil perhitungan pada langkah 1 adalah \(\frac{0}{0}\) dan fungsi aljabar berbentuk pecahan, maka untuk menentukan nilai limit dari fungsi tersebut, kita harus melakukan pemfaktoran terlebih dahulu yang dilanjutkan dengan melakukan pensubstitusian kembali x = 3. Adapun perhitungannya adalah sebagai berikut.

\(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x - 3}{4x - 12} \)        =  \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x - 3}{4\left(x - 3\right)} \)

                              =  \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{1}{4}\)

                              =  \(\frac{1}{4}\)

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x - 3}{4x - 12} \) = \(\frac{1}{4}\)

Contoh 4:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow -2} \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + x - 2} \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow -2} \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + x - 2} \)    =  \(\frac{\left(-2\right)^2 – 2\left(-2\right) - 8}{\left(-2\right)^2 + \left(-2\right) - 2}\)

                              =  \(\frac{4 + 4 - 8}{4 - 2 - 2}\)

                              =  \(\frac{0}{0}\)

Karena didapati hasil perhitungan pada langkah 1 adalah \(\frac{0}{0}\) dan fungsi aljabar berbentuk pecahan, maka untuk menentukan nilai limit dari fungsi tersebut, kita harus melakukan pemfaktoran terlebih dahulu yang dilanjutkan dengan melakukan pensubstitusian kembali x = -2. Adapun perhitungannya adalah sebagai berikut.

\(\lim_{x \rightarrow -2} \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + x - 2} \)    =  \(\lim_{x \rightarrow -2} \frac{\left(x - 4\right)\left(x + 2\right)}{\left(x - 1\right)\left(x + 2\right)} \)

                                 =  \(\lim_{x \rightarrow -2} \frac{\left(x - 4\right)}{\left(x - 1\right)} \)

                                 =  \(\frac{-2 - 4}{-2 - 1} \)

                                 =  \(\frac{-6}{-3} \)

                                 =  \(2\)

Jadi, nilai  \(\lim_{x \rightarrow -2} \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + x - 2} \) = \(2\)

Metode mengalikan dengan akar sekawan

Ketika kita mendapati fungsi f(x) memuat bentuk akar dengan \(\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right )\) = \(f\left(a \right )\) = \(\frac{0}{0} \), maka perhitungan limit dapat dilakukan dengan cara mengalikan dengan akar sekawan terlebih dahulu terhadap fungsi f(x). Setelah itu, maka kita dapat melakukan pemfaktoran dan mensubstitusikan kembali x = a ke fungsi yang kita dapati dari perhitungan tersebut.

Untuk mempermudah dalam memahami penjelasan tersebut, cermatilah contoh soal di bawah ini.

Contoh 5:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{9 – x^2}{4 - \sqrt{x^2 + 7}} \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{9 – x^2}{4 - \sqrt{x^2 + 7}} \)  =  \(\frac{9 - \left(3\right)^2}{4 - \sqrt{\left(3\right)^2 + 7}}\)

                              =  \(\frac{9 - 9}{4 - \sqrt{9 + 7}}\)

                              =  \(\frac{9 - 9}{4 - \sqrt{16}}\)

                              =  \(\frac{9 - 9}{4 - 4}\)

                              =  \(\frac{0}{0}\)

Karena didapati hasil perhitungan pada langkah 1 adalah \(\frac{0}{0}\) dan fungsi aljabar memuat bentuk akar, maka untuk menentukan nilai limit dari fungsi tersebut, kita harus mengalikan dengan akar sekawan terlebih dahulu yang dilanjutkan dengan melakukan penfaktoran dan pensubstitusian kembali x = 3. Adapun perhitungannya adalah sebagai berikut.

\(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{9 – x^2}{4 - \sqrt{x^2 + 7}} \)  

=  \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{9 – x^2}{4 - \sqrt{x^2 + 7}} \) \(\times\)\(\frac{4 + \sqrt{x^2 + 7}}{4 + \sqrt{x^2 + 7}}\)

=  \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\left(9 – x^2\right)\left(4 + \sqrt{x^2 + 7}\right)}{\left(4 - \sqrt{x^2 + 7}\right)\left(4 + \sqrt{x^2 + 7}\right)} \)

=  \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\left(9 – x^2\right)\left(4 + \sqrt{x^2 + 7}\right)}{4^2 - \left(\sqrt{x^2 + 7}\right)^2}\)

=  \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\left(9 – x^2\right)\left(4 + \sqrt{x^2 + 7}\right)}{16 - \left(x^2 + 7\right)}\)

=  \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\left(9 – x^2\right)\left(4 + \sqrt{x^2 + 7}\right)}{16 - x^2 - 7}\)

=  \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\left(9 – x^2\right)\left(4 + \sqrt{x^2 + 7}\right)}{16 - 7 - x^2}\)

=  \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\left(9 – x^2\right)\left(4 + \sqrt{x^2 + 7}\right)}{9 - x^2}\)

=  \(\lim_{x \rightarrow 3} \left(4 + \sqrt{x^2 + 7}\right)\)

=  \(4 + \sqrt{3^2 + 7}\)

=  \(4 + \sqrt{9 + 7}\)

=  \(4 + \sqrt{16}\)

=  \(4 + 4\)

=  \(8\)

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 3} \frac{9 – x^2}{4 - \sqrt{x^2 + 7}} \)  = \(8\).

Demikian penjelasan terkait bagaimana cara untuk menentukan nilai limit dari sebuah fungsi aljabar f(x) untuk x mendekati suatu bilangan tertentu. Semoga materi ini dapat bermanfaat untuk kalain.