Sifat-Sifat Limit Beserta Contoh Soalnya

SIFAT-SIFAT LIMIT BESERTA CONTOH SOALNYA 

Sifat-Sifat Limit Beserta Contoh Soalnya

Pada laman sebelumnya, kita sudah membahas tentang bagaimana cara untuk menentukan nilai limit dari sebuah fungsi aljabar f(x) untuk x mendekati a dimana a adalah suatu bilangan tertentu. Pada laman tersebut, kita mendapati bahwa untuk menentukan nilai limit dari sebuah fungsi maka terdapat beberapa langkah yang harus dilakukan diantaranya:

Langkah 1:

Substitusikan atau ganti x = a pada fungsi f(x) sehingga didapati \(\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right )\) = \(f\left(a \right )\). Jika f(a) tidak berbentuk   \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\),  \(\infty\) - \(\infty\)   (bentuk tak tentu), maka f(a) adalah nilai limitnya. Namun jika f(a) merupakan salah satu dari tiga bentuk tersebut, maka kita lanjut pada langkah kedua.

Langkah 2:

Jika pada langkah 1 didapati f(a) berbentuk \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\),  \(\infty\) - \(\infty\)   (bentuk tak tentu), maka kita harus melakukan pemfaktoran atau mengalikan dengan akar sekawan terhadap fungsi f(x) yang kita miliki tadi.

Selanjutnya untuk mempermudah kita dalam melakukan perhitungan di atas, kita akan membahas sifat-sifat limit yang nantinya dapat kita gunakan untuk menentukan nilai limit dari suatu fungsi aljabar. Nah seperti apa penjelasannya? Silahkan kalian pelajari materi sifat-sifat limit ini dengan seksama.

Sifat-Sifat Limit

Sifat-sifat limit pada dasarnya merupakan teorema-teorema yang berkaitan dengan konsep limit. Teorema-teorema ini biasanya digunakan untuk mempermudah kita dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang berkaitan dengan limit.

Sifat 1:

Misalkan k dan a adalah konstanta real, maka limit fungsi k untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 1 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 1:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 4} 2\) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 4} 2\)    =  2

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 4} 2\)  = 2.

Sifat 2:

Misalkan a adalah konstanta real, maka limit fungsi x untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 2 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 2:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 3} x \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 3} x \)    =  3

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 3} x \)    =  3.

Sifat 3:

Misalkan k dan a adalah konstanta real, f(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi k.f(x) untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 3 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 3:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2\) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2\)         =  2 . \(\lim_{x \rightarrow 1} x^2\)

                            =  2 . (1)²

                            =  2 . 1

                            =  2

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2\) = 2.

Sifat 4:

Misalkan a adalah konstanta real, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi [f(x) + g(x)] untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 4 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 4:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(3x^2 + 4x\right) \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \left(3x^2 + 4x\right) \)    =  \(\lim_{x \rightarrow 1} 3x^2\)  +  \(\lim_{x \rightarrow 1} 4x\)

                                    =  3 .  \(\lim_{x \rightarrow 1} x^2\)  +  4 . \(\lim_{x \rightarrow 1} x\)

                                    =  3 . (1)²  +  4 . 1

                                    =  3 . 1  +  4 . 1

                                    =  3  +  4

                                    =  7

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(3x^2 + 4x\right) \) = 7.

Sifat 5:

Misalkan a adalah konstanta real, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi [f(x) – g(x)] untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 5 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 5:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2 - 5x\right) \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2 - 5x\right) \)    =  \(\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2\)  -  \(\lim_{x \rightarrow 1} 5x\)

                                    =  2 .  \(\lim_{x \rightarrow 1} x^2\)  -  5 . \(\lim_{x \rightarrow 1} x\)

                                    =  2 . (1)²  -  5 . 1

                                    =  2 . 1  -  5 . 1

                                    =  2  -  5

                                    =  -3

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2 - 5x\right) \) = -3.

Sifat 6:

Misalkan a adalah konstanta real, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi [f(x) x g(x)] untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 6 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 6:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right) \left(x + 1\right) \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right) \left(x + 1\right) \)

=  \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right)\)  \(\times \) \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(x + 1\right)\)

=  \(\left[\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2 \right] \) \(\times \) \(\left[\lim_{x \rightarrow 1} \left(x + 1\right) \right]\)

=  \(\left[\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2 \right] \) \(\times \) \(\left[\lim_{x \rightarrow 1} x  +  \lim_{x \rightarrow 1} 1 \right]\)

=  [2 . (1)²] x [1 + 1]

=  [2 . 1] x [1 + 1]

=  2 x 2

=  4

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right) \left(x + 1\right) \) = 4.

Sifat 7:

Misalkan a adalah konstanta real, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi \(\frac{f(x)}{g(x)}\) untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 7 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 7:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x}{5} \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x}{5} \)  =  \(\frac{\lim_{x \rightarrow 1} 2x}{\lim_{x \rightarrow 1} 5} \)

                   =  \(\frac{2 . \lim_{x \rightarrow 1} x}{\lim_{x \rightarrow 1} 5} \)

                   =  \(\frac{2 . 1}{5} \)

                   =  \(\frac{2}{5} \)

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x}{5} \) =  \(\frac{2}{5} \).

Sifat 8:

Misalkan a, n adalah konstanta real, f(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi [f(x)]ⁿ untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 8 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 8:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right)^3 \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right)^3 \)  =  \(\left[\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2\right]^3\)

                           =  \(\left[2 . \lim_{x \rightarrow 1} x^2\right]^3\)

                           =  [2 . (1)²]³

                           =  [2 . 1]³

                           =  [2]³

                           =  8

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right)^3 \) = 8.

Sifat 9:

Misalkan a, n adalah konstanta real, f(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi

\(\sqrt[n]{f(x)}\) untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 9 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 9:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} \sqrt{x^2}\) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \sqrt{x^2}\)      =  \(\sqrt{\lim_{x \rightarrow 1} x^2}\)

                           =  \(\sqrt{1^2}\)

                           =  \(\sqrt{1}\)

                           =  \(1\)

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} \sqrt{x^2}\) = 1.

Demikian penjelasan terkait materi sifat-sifat limit beserta contohnya. Semoga penjelasan ini bermanfaat untuk kalian semua.