Mari Menerapkan Konsep Barisan dan Deret

MARI MENERAPKAN KONSEP BARISAN DAN DERET 

Penerapan Barisan dan Deret

Setelah kita mempelajari materi barisan dan deret, tentunya akan muncul pertanyaan baru yaitu bagaimana penerapan konsep barisan dan deret ini dalam kehidupan sehari-hari. Permasalahan apa saja yang bisa diselesaikan dengan menggunakan konsep ini. Nah, untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari kita pelajari bersama materi terkait aplikasi barisan dan deret di bawah ini.

Pertumbuhan

Salah satu penerapan dari konsep barisan dan deret adalah dalam hal pertumbuhan. Pada materi kali ini, kita akan membahas dua jenis pertumbuhan yang berkaitan dengan konsep ini, yaitu pertumbuhan penduduk dan pertumbuhan ganda.

Pertumbuhan Penduduk

Rumus Pertumbuhan Penduduk

dimana:

\(M_{t}\)      =  jumlah penduduk akhir

\(M_{0}\)     =  jumlah penduduk awal

t          =  jangka waktu

i          =  tingkat laju pertumbuhan

 

Pertumbuhan Ganda

Rumus Pertumbuhan Ganda

dimana:

\(M_{t}\)      =  jumlah akhir populasi

\(M_{0}\)     =  jumlah awal populasi

t          =  jangka waktu

Untuk mempermudah dalam memahami rumus di atas, silahkan kalian coba pahami contoh soal di bawah ini.

Contoh 1

Diketahui jumlah penduduk di suatu daerah pada tahun 2021 berjumlah 3 juta jiwa dengan tingkat pertumbuhan 1% per tahun. Tentukan jumlah penduduk daerah tersebut pada akhir tahun 2025 !

Penyelesaian:

\(M_{0}\) = 3.000.000, i = 1% = 0,01, t = 4

Dengan informasi tersebut, maka dapat ditentukan jumlah penduduk daerah yang dimaksud pada akhir tahun 2025 melalui perhitungan sebagai berikut:

\(M_{0}\)       =   \(M_{0}(1 + i)^t\)

             =    3.000.000 . \((1 + 0,01)^4\)

             =    3.000.000 . \((1,01)^4\)

             =    3.000.000 . (1,040604)

\(M_{t}\)       =   3.121.812

Jadi, jumlah penduduk pada akhir tahun 2025 adalah 3.121.812 jiwa.

 

Peluruhan

Penerapan konsep barisan dan deret yang selanjutnya dalah terkait dengan peluruhan. Adapun rumus yang dapat digunakan adalah sebagai berikut.

Rumus Peluruhan

dimana:

\(M_{t}\)       =   jumlah akhir

\(M_{0}\)      =   jumlah awal

t           =  jangka waktu

p          =  tingkat peluruhan

Adapun contoh soal yang bisa kalian pelajari untuk memahami rumus peluruhan di atas adalah sebagai berikut.

Contoh 2

Suatu neutron dapat pecah menjadi suatu proton dan elektron jika terdapat 1.000.000 neutron. Pada akhir satu menit neutron akan berubah sebanyak 4%. Tentukan banyaknya neutron yang masih ada setelah 5 menit !

Penyelesaian:

\(M_{0}\) = 1.000.000, p = 4% = 0,04, t = 5

Dengan informasi tersebut, maka dapat ditentukan neutron yang masih ada setelah 5 menit melalui perhitungan sebagai berikut:

\(M_{t}\)     =   \(M_{0}(1 – p)^{t}\)

          =    1.000.000 . \( (1 – 0,04)^{5} \)

          =    1.000.000 . \( (0,96)^{5} \)

          =    1.000.000 . (0,815373)

\(M_{t}\)    =     815.373

Jadi, neutron yang masih ada setelah 5 menit adalah 815.373.

 

Bunga Majemuk

Selain pertumbuhan dan peluruhan, penerapan konsep barisan dan deret yang lainnya adalah bunga majemuk. Adapun rumus yang dapat digunakan antara lain sebagai berikut.

Rumus Bunga Majemuk

dimana:

\(M_{n}\)   =   nilai akhir

\(M \)    =  modal awal

i        =  suku bunga majemuk

n       =  jumlah frekuensi konversi

Berikut adalah contoh soal yang bisa kalian pelajari untuk memahami rumus bunga majemuk adalah sebagai berikut.

Contoh 3

Alva menabung uang di bank sebesar Rp 2.000.000,00 dengan suku bunga 10% per tahun. Apabila uang tersebut tidak pernah diambil, tentukan besar tabungan Alva setelah 5 tahun !

Penyelesaian:

Modal  =  \( M\) = 2.000.000

Suku bunga  =  i  = 10% = 0,1

Lama pembungaan  =  n  = 5 

Dari informasi tersebut, maka dapat ditentukan besar tabungan Alva setelah 5 tahun melalui perhitungan sebagai berikut:

\(M_{n}\)    =   \(M (1 + i)^{n}\)

          =    2.000.000 . \((1 + 0,1)^{5}\)

          =    2.000.000 . \((1,1)^{5}\)

          =    2.000.000 . (1,61051)

\(M_{n}\)    =     3.221.020

Jadi, besar tabungan Alva setelah 5 tahun adalah 3.221.020.

 

Anuitas

Contoh penerapan barisan dan deret yang akan disampaikan pada pembahasan ini adalah tentang anuitas. Adapun rumus yang digunakan dalam penerapan ini adalah sebagai berikut.

Rumus Anuitas

dimana:

\(A\)   =  besarnya anuitas

\(M\)  =  besar pinjaman

i      =  suku bunga

n     =  banyaknya angsuran

 

Agar kalian lebih mudah dalam memahami rumus di atas, berikut disampaikan contoh soal yang bisa kalian pelajari terkait rumus anuitas.

Contoh 4

Suatu pinjaman sebesar Rp 1.000.000,00 dilunasi dalam 5 tahun dengan anuitas pertama dibayar setelah satu tahun dengan bunga 4% per tahun. Tentukan besarnya anuitas dari permasalahan tersebut !

Penyelesaian:

Besar pinjaman  =  \(M\) = 1.000.000

Suku bunga  =  i  = 4% = 0,04

Banyak angsuran  =  n  = 5 

Dari informasi tersebut, maka dapat ditentukan besarnya anuitas melalui perhitungan sebagai berikut:

\(A\)    =    \(M \times \frac{i}{1 – (1 + i)^{-n}} \)

       =    \(1.000.000 \times \frac{0,04}{1 – (1 + 0,04)^{-5}} \)

       =    \(1.000.000 \times \frac{0,04}{1 – (1,04)^{-5}} \)

       =    \(1.000.000 \times \frac{0,04}{1 – (0,821927)} \)

       =    \(1.000.000 \times \frac{0,04}{0,178073}\)

       =    \(1.000.000 \times 0,22462698\)

\(A\)    =    224.626,98

Jadi, besar anuitasnya adalah 224.626,98.

Berdasarkan pembahasan materi dan contoh-contoh soal yang sudah diberikan, tentunya kalian sudah mampu memahami materi penerapan barisan dan deret ini bukan?

Demikian penjelasan terkait materi mari menerapkan konsep barisan dan deret. Semoga bermanfaat untuk semua.