Cara Menentukan Fungsi f Jika Fungsi g dan ( f o g ) Diketahui

CARA MENENTUKAN FUNGSI f JIKA FUNGSI g dan ( f o g ) DIKETAHUI 

Fungsi Komposisi

Masih ingatkah kalian bagaimana cara untuk menentukan fungsi g jika fungsi f dan ( f o g ) diketahui. Untuk menentukan fungsi g tersebut, ada beberapa langkah yang harus kita lakukan. Hal ini bisa kalian baca pada materi cara menentukan fungsi g jika fungsi f dan ( f o g ) diketahui. Pada materi tersebut, kita diminta untuk menentukan salah satu fungsi pembentuk fungsi komposisi yang letaknya di sebelah kanan bundaran dengan fungsi komposisi dan fungsi yang terletak di sebelah kiri bundaran sudah diketahui terlebih dahulu.

Lalu, bagaimana seandainya jika kita diminta untuk menentukan fungsi pembentuk fungsi komposisi yang terletak di sebelah kiri dengan fungsi komposisi dan fungsi pembentuk fungsi komposisi yang terletak di sebelah kiri sudah diketahui? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, silahkan kalian cermati contoh soal berikut ini.

Contoh 1:

Diketahui fungsi f : R → R dan fungsi g : R → R dengan g(x) = 4x dan fungsi komposisi ( f o g )(x) = 8x + 5. Tentukan rumus fungsi f(x) !

Pembahasan:

Diketahui:

g(x) = 4x

( f o g )(x) = 8x + 5

Ditanya: f(x) ……………….?

Jawab:

( f o g )(x)   = 8x + 5

f(g(x))         = 8x + 5

f(4x)            = 8x + 5

Misalkan 4x = p ⇒ x = \(\frac{p}{4}\)

f(4x)            = 8x + 5

f(p)              = 8\(\left(\frac{p}{4}\right)\) + 5

f(p)              = 2p + 5

f(x)              = 2x + 5 

Dari contoh di atas, maka dapat dibuat sebuah kesimpulan yaitu misalkan dipunyai sebuah fungsi komposisi ( f o g )(x) dan kita diminta untuk menentukan fungsi yang letaknya di sebelah kiri bundaran, yaitu fungsi f(x) dengan fungsi yang terletak di sebelah kanan bundaran, yaitu g(x) sudah diketahui, maka langkah-langkah yang harus dilakukan antara lain:

1.     Tuliskan fungsi komposisi yang diketahui;

2.     Ubahlah fungsi komposisi ( f o g )(x) menjadi f(g(x));

3.    Ubahlah fungsi g(x) yang terletak di dalam f sesuai dengan fungsi g(x) yang diketahui;

4.     Selanjutnya, misalkan fungsi g(x) sama dengan variabel tertentu, misalkan g(x) = p;

5.     Pada persamaan g(x) = p, tentukan persamaan x;

6.     Tuliskan kembali bentuk yang kita dapati pada langkah 3;

7.     Ubahlah g(x) yang terletak dalam kurung dengan variabel yang kita pilih yaitu p dan x dengan persamaan yang kita miliki di langkah 5;

8.     Lakukan operasi hitung terhadap bentuk aljabar sehingga didapati fungsi f(p);

9.    Ubahlah setiap variabel p yang ada di fungsi f(p) dengan variabel x sehingga didapati fungsi f(x).

Untuk mempermudah dalam memahami langkah-langkah di atas, pelajarilah contoh-contoh soal di bawah ini dengan cermat.

Contoh 2:

Diketahui fungsi f : R → R dan fungsi g : R → R dengan g(x) = 4x + 1 dan fungsi komposisi ( f o g )(x) = 12x + 1. Tentukan rumus fungsi f(x) !

Pembahasan:

Diketahui:

g(x) = 4x + 1

( f o g )(x) = 12x + 1

Ditanya: f(x) ……………….?

Jawab:

( f o g )(x)   = 12x + 1

f(g(x))         = 12x + 1

f(4x + 1)     = 12x + 1

Misalkan 4x + 1 = p

                 ⇔ 4x = p – 1

                 ⇔ x = \(\frac{p - 1}{4}\)

f(4x + 1)     = 12x + 1

f(p)              = 12\(\left(\frac{p - 1}{4}\right)\) + 1

f(p)              = 3(p – 1) + 1

f(p)              = 3p – 3 + 1

f(p)              = 3p – 2

f(x)              = 3x – 2

Contoh 3:

Diketahui fungsi f : R → R dan fungsi g : R → R dengan f(x) = 5x – 2 dan fungsi komposisi ( g o f )(x) = 10x – 3. Tentukan rumus fungsi g(x) !

Pembahasan:

Diketahui:

f(x) = 5x – 2

( g o f )(x) = 10x – 3

Ditanya: g(x) ……………….?

Jawab:

( g o f )(x)   = 10x – 3

g(f(x))         = 10x – 3

g(5x – 2)     = 10x – 3

Misalkan 5x – 2 = p

                 ⇔ 5x = p + 2

                 ⇔ x = \(\frac{p + 2}{5}\)

g(5x – 2)     = 10x – 3

g(x)             = 10\(\left(\frac{p + 2}{5}\right)\) – 3

g(p)             = 2(p + 2) – 3

g(p)             = 2p + 4 – 3

g(p)             = 2p + 1

g(x)             = 2x + 1

Contoh 4:

Diketahui fungsi f : R → R dan fungsi g : R → R dengan f(x) = 2x – 1 dan fungsi komposisi ( g o f )(x) = 4x² + 4x – 2. Tentukan rumus fungsi g(x) !

Pembahasan:

Diketahui:

f(x) = 2x – 1

( g o f )(x) = 4x² + 4x – 2

Ditanya: g(x) ……………….?

Jawab:

( g o f )(x)   = 4x² + 4x – 2

g(f(x))         = 4x² + 4x – 2

g(2x – 1)     = 4x² + 4x – 2

Misalkan 2x – 1 = p

                ⇔2x = p + 1

                ⇔x = \(\frac{p + 1}{2}\)

g(2x – 1)     = 4x² + 4x – 2

g(p)             = 4\(\left(\frac{p + 1}{2}\right)^{2}\) + 4\(\left(\frac{p + 1}{2}\right)\) – 2

g(p)             = 4\(\left(\frac{p^{2} + 2p + 1}{4}\right)\) + 4\(\left(\frac{p + 1}{2}\right)\) – 2

g(p)             = \(\left(p^{2} + 2p + 1\right)\) + 2\(\left(p + 1\right)\) – 2

g(p)             = p² + 2p + 1 + 2p + 2 – 2

g(p)             = p² + 2p + 2p + 1 + 2 – 2

g(p)             = p² + 4p + 1

g(x)             = x² + 4x + 1 

Demikian penjelasan terkait materi cara untuk menentukan fungsi f jika fungsi g dan fungsi komposisi ( f o g ) diketahui. Semoga penjelasan tersebut dapat memberikan manfaat untuk kalian.