Deret Geometri Tak Hingga Beserta Contoh Soalnya

DERET GEOMETRI TAK HINGGA BESERTA CONTOH SOALNYA 

Deret Geometri Tak Hingga

Pernahkah kalian mendengar kata tak hingga? Apa yang ada dalam pikiran kalian ketika mendengar kata tersebut? Jika kalian menjawab “Tak Terbatas”, maka jawaban kalian tepat sekali.

Perhatikan contoh deret geometri di bawah ini.

1)    1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

2)    2 + 6 + 18 + 54 + 162 + …

3)    \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... \)

4)    \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + ... \)

Deret-deret geometri di atas adalah contoh deret geometri tak hingga. Lalu, tahukah kalian apa itu deret geometri tak hingga? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari kita pelajari bersama materi di bawah ini.

Pengertian Deret Geometri Tak Hingga

Secara definisi, deret geometri tak hingga dapat diartikan sebagai berikut.

Pengertian Deret Geometri Tak Hingga

Pada contoh di atas, deret geometri tak hingga yang ditunjukkan dengan nomor 1) dan 2), yaitu:

1)    1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

2)    2 + 6 + 18 + 54 + 162 + …

merupakan contoh deret geometri tak hingga divergen.

Deret geometri tak hingga divergen adalah deret geometri dimana nilai bilangannya semakin membesar dan tidak dapat ditentukan jumlahnya. Mengapa demikian? Hal ini dikarenakan pada deret geometri tak hingga divergen, nilainya semakin membesar dan tidak terbatas. Adapun rasio dari deret geometri tak hingga divergen adalah r dengan \( \left | r \right | > 1 \).

Selanjutnya, untuk contoh deret geometri tak hingga yang ditunjukkan dengan nomor 3) dan 4), yaitu:

1)     \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... \)

2)    \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + ... \)

 merupakan contoh deret geometri tak hingga konvergen.

Deret geometri tak hingga konvergen merupakan kebalikan dari deret geometri tak hingga divergen yaitu deret geometri dimana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat ditentukan jumlahnya. Adapun rasio dari deret geometri tak hingga konvergen adalah r dengan \( \left | r \right | < 1 \).

Menentukan Jumlah Tak Hingga Suku dari Deret Geometri Tak Hingga

Seperti kita ketahui bahwa deret geometri yang dapat ditentukan jumlah tak hingga sukunya adalah deret geometri tak hingga konvergen.

Misalkan dipunyai deret geometri tak hingga yang dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut.

\({U}_{1} + {U}_{2} + {U}_{3} + {U}_{4} +{U}_{5} + {U}_{6} + ... \)

Untuk menentukan jumlah tak hingga suku dari deret geometri tak hingga di atas dapat digunakan rumus sebagai berikut.

Rumus Jumlah Tak Hingga Deret Geometri

Untuk memahami rumus di atas, silahkan kalian pelajari contoh-contoh soal di bawah ini.

Contoh 1

Diberikan deret geometri sebagai berikut.

\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... \)

Tentukan jumlah tak hingga suku dari deret geometri tak hingga di atas!

Penyelesaian:

\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... \)

Dari deret tersebut, didapati:

a    =  1

r     =  \(\frac{U_{2}}{U_{1}}\)

      =  \(\frac{\frac{1}{2}}{1}\)

r     =  \(\frac{1}{2}\)

Karena didapati nilai rasio ( r ) = \(\frac{1}{2} < 1 \), jelas bahwa deret di atas adalah deret geometri tak hingga konvergen sehingga untuk menentukan jumlah tak hingga suku dapat digunakan rumus sebagai berikut.

\(S_{\infty}\)    =   \(\frac{a}{1 – r}\)

\(S_{\infty}\)    =   \(\frac{1}{1 – \frac{1}{2}}\)

          =   \(\frac{1}{\frac{1}{2}}\)

            =   2

\(S_{\infty}\)    =   2

Jadi, jumlah tak hingga suku dari deret geometri tak hingga di atas adalah 2.

 

Contoh 2

Diberikan deret geometri tak hingga dengan suku kedua 48 dan suku kelima 6. Tentukan suku pertama, rasio, dan jumlah tak hingga suku dari deret tersebut!

Penyelesaian:

\(U_{2}\)    =   48  \(\leftrightarrow \)  \(ar\)  =  48  \(\leftrightarrow \)  \(a\)  =  \(\frac{48}{r}\) …………… (1)

\(U_{5}\)     =   6  \(\leftrightarrow \)  \(ar^{4}\)  =  6  \(\leftrightarrow \)  \(a\)  =  \(\frac{6}{r^{4}}\) …………… (2)

Dari persamaan (1) dan (2), didapati bahwa:

\(\frac{48}{r}\)  =   \(\frac{6}{r^{4}}\)

\(\leftrightarrow \)  \(\frac{r^{4}}{r} \)     =   \(\frac{6}{48}\)

\(\leftrightarrow \)  \(r^{3}\)     =   \(\frac{1}{8}\)

\(\leftrightarrow \)  \(r\)      =   \(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\)

\(\leftrightarrow \)  \(r\)      =   \(\frac{1}{2}\)

Jadi rasio dari deret di atas adalah \(\frac{1}{2}\)

Selanjutnya, untuk menentukan suku pertama (a) dari deret geometri tersebut, maka substitusikan nilai r = \(\frac{1}{2}\) ke persamaan (1) atau (2).

Misalkan nilai r = \(\frac{1}{2}\) disubstitusikan ke persamaan (1) dengan perhitungan sebagai berikut.

r   =   \(\frac{1}{2}\)  \(\rightarrow \)    a   =   \(\frac{48}{r}\)

                     a   =   \(\frac{48}{\frac{1}{2}}\)

                     a   =   96

Jadi, suku pertama ( a ) dari deret di atas adalah 96.

Untuk yang selanjutnya, menentukan jumlah tak hingga (\(S_{\infty}\)) suku dari deret geometri tak hingga di atas.

Jelas bahwa deret di atas adalah deret geometri tak hingga konvergen karena diketahui nilai rasio ( r ) = \(\frac{1}{2} < 1\), sehingga untuk menentukan jumlah tak hingga suku dapat digunakan rumus sebagai berikut.

\(S_{\infty}\)    =   \(\frac{a}{1 – r}\)

\(S_{\infty}\)    =   \(\frac{96}{1 – \frac{1}{2}}\)

          =   \(\frac{96}{\frac{1}{2}}\)

          =   192

\(S_{\infty}\)    =   192

Jadi, jumlah tak hingga suku dari deret geometri tak hingga di atas adalah 192.

Berdasarkan pembahasan dan dua contoh soal di atas, tentunya kalian sudah mampu memahami materi tentang deret geometri tak hingga ini bukan?

Demikian penjelasan terkait materi deret geometri tak hingga beserta contoh soalnya. Semoga bermanfaat untuk semua.