Deret Aritmatika Beserta Contoh Soalnya

DERET ARITMATIKA BESERTA CONTOH SOALNYA 

Deret Aritmatika Beserta Contoh Soalnya

Setelah kita mempelajari materi barisan, tentunya materi selanjutnya yang akan kita bahas adalah tentang deret.

Pengertian Deret Aritmatika

Salah satu jenis deret yang umum dipelajari di bangku SMA adalah deret aritmatika. Secara definisi, deret aritmatika dapat diartikan sebagai berikut.

Pengertian Deret Aritmatika

Secara sederhana, definisi di atas dapat ditunjukkan dengan misalkan dipunyai barisan aritmatika yang dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:

2,  5,  8,  11,  14,  17,  20,  23,  26,  29,  32

Barisan tersebut dikatakan sebagai deret aritmatika apabila diubah dalam bentuk penjumlahan suku-sukunya sebagai berikut.

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32

Bentuk penjumlahan di atas merupakan contoh deret aritmatika. Karena deret aritmatika adalah penjumlahan yang dilakukan terhadap suku-suku dalam barisan tersebut, tentunya kita dapat menentukan hasil penjumlahan dari deret tersebut.

Menentukan Jumlah n Suku Pertama dari Deret Aritmatika

Misalkan dipunyai deret aritmatika yang dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut.

\({U}_{1} + {U}_{2} + {U}_{3} + {U}_{4} +{U}_{5} + {U}_{6} + ... + {U}_{n} \)

Untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret aritmatika di atas, maka dapat digunakan rumus sebagai berikut.

Rumus Pertama

atau dengan rumus:

Rumus Kedua

Dari penjelasan di atas didapati bahwa terdapat dua rumus yang dapat kita gunakan untuk menentukan jumlah n suku pertama dari sebuah deret aritmatika. Namun, tahukah kalian kapan kita menggunakan rumus pertama atau kedua dalam menentukan jumlah n suku pertama pada deret tersebut?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari kita pelajari dan analisis bersama dua contoh soal di bawah ini.

Contoh 1

Diberikan deret aritmatika sebagai berikut.

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + …

Tentukan jumlah 21 suku pertama dari deret aritmatika tersebut!

Penyelesaian:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + …

Dari barisan tersebut, didapati:

a    =  2

b    =  \({U}_{2} – {U}_{1}\)

      =  5 – 2

b    =  3

Selanjutnya untuk menentukan jumlah 21 suku pertama (\({S}_{21}\)), karena beda (b) sudah diketahui sedangkan suku ke-21 (\({U}_{21}\)) belum, maka digunakan rumus yang kedua yaitu sebagai berikut.

\({S}_{n}\)        =         \(\frac{1}{2}n. \left(2a + \left(n-1 \right)b \right)\)

\({S}_{21}\)      =          \(\frac{1}{2}\left(21 \right ).\left ( 2.2 + \left(21-1 \right )3 \right )\)

            =          \(\frac{1}{2}\left(21 \right ).\left ( 4 + 20.3 \right )\)

            =          \(\frac{1}{2}\left(21 \right ).\left ( 4 + 60 \right )\)

            =          \(\frac{1}{2}\left(21 \right ).\left ( 64 \right )\)

            =          21 . 32

\({S}_{21}\)      =          672

Jadi, jumlah 21 suku pertama dari deret aritmatika di atas adalah 672.

Contoh 2

Diberikan suku pertama dari suatu deret aritmatika adalah 5. Tentukan jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika tersebut jika diketahui suku ke-15 dari deret tersebut adalah 47 !

Penyelesaian:

 \({U}_{1}\)  =    a     =    5

\({U}_{15}\)  =    47

Untuk menentukan jumlah 15 suku pertama dari deret tersebut, maka digunakan rumus pertama. Hal ini dikarenakan suku ke-15 dari deret tersebut sudah diketahui. Adapun rumus kedua yang digunakan adalah sebagai berikut.

\({S}_{n}\)      =       \(\frac{1}{2}n. \left(a + {U}_{n} \right)\)

\({S}_{15}\)    =       \(\frac{1}{2}\left( 15 \right). \left(5 + 47 \right)\)

          =       \(\frac{1}{2}\left( 15 \right). \left(52 \right)\)

          =       15 . 26

\({S}_{15}\)    =       390

Jadi, jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika di atas adalah 390.

Berdasarkan dua contoh soal di atas, tentunya kalian sudah mampu membedakan kapan kalian menggunakan rumus pertama atau kedua dalam menentukan jumlah n suku pertama dari deret aritmatika bukan?

Demikian penjelasan terkait materi deret aritmatika beserta contoh soalnya. Semoga bermanfaat untuk semua.