Kuadran Pada Perbandingan Trigonometri

KUADRAN PADA PERBANDINGAN TRIGONOMETRI 

Kuadran Pada Perbandingan Trigonometri

Pada materi perbandingan trigonometri, untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri dari sebuah sudut dengan besar lebih dari 90^o, maka ada beberapa hal yang harus kalian pahami terlebih dahulu. Salah satunya adalah kuadran.

Kuadran adalah suatu daerah yang dibatasi oleh sumbu X dan sumbu Y pada sebuah koordinat kartesius.

Dari pengertian tersebut maka pada sebuah koordinat kartesius, terdapat 4 daerah yang disebut sebagai kuadran. Adapun nama dari masing-masing daerah atau kuadran tersebut adalah kuadran I, II, III, dan IV. Masing-masing kuadan tersebut tentunya dibatasi oleh sumbu X dan sumbu Y pada koordinat kartesius.

Untuk mempermudah dalam memahami penjelasan di atas, maka perhatikanlah gambar di bawah ini dengan cermat.

Kuadran Pada Perbandingan Trigonometri

Dari gambar di atas, maka didapati informasi tentang kuadran I, II, III, dan IV sebagai berikut.

Kuadran I; Kuadran I adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X⁺ dan sumbu Y⁺. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran I adalah sudut yang besarnya antara 0^o sampai 90^o atau bisa dituliskan 0^o < a^o < 90^o.

Kuadran II; Kuadran II adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X^- dan sumbu Y⁺. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran II adalah sudut yang besarnya antara 90^o sampai 180^o atau bisa dituliskan 90^o < a^o < 180^o.

Kuadran III; Kuadran III adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X^- dan sumbu Y^-. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran III adalah sudut yang besarnya antara 180^o sampai 270^o atau bisa dituliskan 180^o < a^o < 270^o.

Kuadran IV; Kuadran IV adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X⁺ dan sumbu Y^-. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran IV adalah sudut yang besarnya antara 270^o sampai 360^o atau bisa dituliskan 270^o < a^o < 360^o.

Tanda Perbandingan Trigonometri di Kuadran I

Seperti yang sudah disampaikan di atas bahwa kuadran I adalah kuadran yang dibatasi oleh sumbu X⁺ dan sumbu Y⁺. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran I adalah sudut yang besarnya antara 0^o sampai 90^o. Nah dari penjelasan tersebut, misalkan dipunyai sudut a yang digambarkan sebagai berikut.

Kuadran I

Dari gambar tersebut, diketahui bahwa sudut a memiliki besar antara 0^o sampai 90^o  sehingga sudut a terletak di kuadran I dengan x bernilai positif dan y juga bernilai positif. Adapun tanda perbandingan trigonometri pada kuadran I sesuai dengan gambar di atas antara lain sebagai berikut.

1.      sin a              =  \(\frac{De}{Mi}\)  =  \(\frac{y}{r}\)  bertanda  +

2.      cos a             =  \(\frac{Sa}{Mi}\)  =  \(\frac{x}{r}\)  bertanda  +

3.      tan a             =  \(\frac{De}{Sa}\)  =  \(\frac{y}{x}\)  bertanda  +

4.      cot a             =  \(\frac{Sa}{De}\)  =  \(\frac{x}{y}\)  bertanda  +

5.      sec a             =  \(\frac{Mi}{Sa}\)  =  \(\frac{r}{x}\)  bertanda  +

6.      cosec a         =  \(\frac{Mi}{De}\)  =  \(\frac{r}{y}\)  bertanda  +

Dari perhitungan yang telah dilakukan, maka didapati bahwa setiap perbandingan trigonometri yang dilakukan di kuadran I selalu menghasilkan bilangan bertanda positif.

Tanda Perbandingan Trigonometri di Kuadran II

Selanjutnya, kuadran II adalah kuadran yang dibatasi oleh sumbu X^- dan sumbu Y⁺. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran II adalah sudut yang besarnya antara 90^o sampai 180^o. Nah dari penjelasan tersebut, misalkan dipunyai sudut a yang digambarkan sebagai berikut.

Kuadran II

Dari gambar tersebut, diketahui bahwa sudut a memiliki besar antara 90^o sampai 180^o  sehingga sudut a terletak di kuadran II dengan x bernilai negatif dan y bernilai positif. Adapun tanda perbandingan trigonometri pada kuadran II sesuai dengan gambar di atas antara lain sebagai berikut.

1.      sin a              =  \(\frac{De}{Mi}\)  =  \(\frac{y}{r}\)  bertanda  +

2.      cos a             =  \(\frac{Sa}{Mi}\)  =  \(\frac{-x}{r}\)  bertanda  -

3.      tan a             =  \(\frac{De}{Sa}\)  =  \(\frac{y}{-x}\)  bertanda  -

4.      cot a             =  \(\frac{Sa}{De}\)  =  \(\frac{-x}{y}\)  bertanda  -

5.      sec a             =  \(\frac{Mi}{Sa}\)  =  \(\frac{r}{-x}\)  bertanda  -

6.      cosec a         =  \(\frac{Mi}{De}\)  =  \(\frac{r}{y}\)  bertanda  +

Dari perhitungan yang telah dilakukan, maka didapati bahwa perbandingan trigonometri yang dilakukan di kuadran II selalu menghasilkan bilangan bertanda positif jika perbandingannya berupa perbandingan sin dan cosec.

Tanda Perbandingan Trigonometri di Kuadran III

Untuk kuadran III, kuadran III adalah kuadran yang dibatasi oleh sumbu X^- dan sumbu Y^-. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran III adalah sudut yang besarnya antara 180^o sampai 270^o. Nah dari penjelasan tersebut, misalkan dipunyai sudut a yang digambarkan sebagai berikut.

Kuadran III

Dari gambar tersebut, diketahui bahwa sudut a memiliki besar antara 180^o sampai 270^o  sehingga sudut a terletak di kuadran III dengan x bernilai negatif dan y juga bernilai negatif. Adapun tanda perbandingan trigonometri pada kuadran III sesuai dengan gambar di atas antara lain sebagai berikut.

1.      sin a              =  \(\frac{De}{Mi}\)  =  \(\frac{-y}{r}\)  bertanda  -

2.      cos a             =  \(\frac{Sa}{Mi}\)  =  \(\frac{-x}{r}\)  bertanda  -

3.      tan a             =  \(\frac{De}{Sa}\)  =  \(\frac{-y}{-x}\)  bertanda  +

4.      cot a             =  \(\frac{Sa}{De}\)  =  \(\frac{-x}{-y}\)  bertanda  +

5.      sec a             =  \(\frac{Mi}{Sa}\)  =  \(\frac{r}{-x}\)  bertanda  -

6.      cosec a         =  \(\frac{Mi}{De}\)  =  \(\frac{r}{-y}\)  bertanda  -

Dari perhitungan yang telah dilakukan, maka didapati bahwa perbandingan trigonometri yang dilakukan di kuadran III selalu menghasilkan bilangan bertanda positif jika perbandingannya berupa perbandingan tan dan cot.

Tanda Perbandingan Trigonometri di Kuadran IV

Untuk kuadran IV, kuadran IV adalah kuadran yang dibatasi oleh sumbu X⁺ dan sumbu Y^-. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran IV adalah sudut yang besarnya antara 270^o sampai 360^o. Nah dari penjelasan tersebut, misalkan dipunyai sudut a yang digambarkan sebagai berikut.

Kuadran IV

Dari gambar tersebut, diketahui bahwa sudut a memiliki besar antara 270^o sampai 360^o  sehingga sudut a terletak di kuadran IV dengan x bernilai positif dan y bernilai negatif. Adapun tanda perbandingan trigonometri pada kuadran IV sesuai dengan gambar di atas antara lain sebagai berikut.

1.      sin a              =  \(\frac{De}{Mi}\)  =  \(\frac{-y}{r}\)  bertanda  -

2.      cos a             =  \(\frac{Sa}{Mi}\)  =  \(\frac{x}{r}\)  bertanda  +

3.      tan a             =  \(\frac{De}{Sa}\)  =  \(\frac{-y}{x}\)  bertanda  -

4.      cot a             =  \(\frac{Sa}{De}\)  =  \(\frac{x}{-y}\)  bertanda  -

5.      sec a             =  \(\frac{Mi}{Sa}\)  =  \(\frac{r}{x}\)  bertanda  +

6.      cosec a         =  \(\frac{Mi}{De}\)  =  \(\frac{r}{-y}\)  bertanda  -

Dari perhitungan yang telah dilakukan, maka didapati bahwa perbandingan trigonometri yang dilakukan di kuadran IV selalu menghasilkan bilangan bertanda positif jika perbandingannya berupa perbandingan cos dan sec.

Kesimpulan

Berdasarkan penjelasan-penjelasan di atas, maka kita bisa membuat sebuah kesimpulan terkait tanda dalam perbandingan trigonometri pada masing-masing kuadran yang digambarkan sebagai berikut.

Tanda Pada Masing-Masing Kuadran

Untuk lebih jelasnya, mari kita cermati dan pelajari bersama contoh-contoh soal di bawah ini.

Contoh 1:

Tentukan tanda dari perbandingan trigonometri:

Cos 120^o

Tan 225^o

Penyelesaian:

Untuk perbandingan trigonometri cos 120^o

Seperti yang kita ketahui bahwa sudut dengan besar 120^o terletak diantara 90^o dan 180^o atau bisa dituliskan 90^o < 120^o < 180^o sehingga sudut dengan besar 120^o terletak pada kuadran II. Oleh karena itu sesuai dengan perhitungan yang kita miliki, cos 120^o memiliki nilai dengan tanda negatif.

Untuk perbandingan trigonometri tan 225^o

Seperti yang kita ketahui bahwa sudut dengan besar 225^o terletak diantara 180^o dan 270^o atau bisa dituliskan 180^o < 225^o < 270^o sehingga sudut dengan besar 225^o terletak pada kuadran III. Oleh karena itu sesuai dengan perhitungan yang kita miliki, tan 225^o memiliki nilai dengan tanda positif.

Contoh 2:

Tentukan nilai perbandingan trigonometri cos dari sudut  a dimana sudut a adalah sebuah sudut yang terbentuk dari titik A(-4, -3) dan sumbu X.

Penyelesaian:

Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar Soal 2

Untuk menentukan nilai cos, maka kita harus menentukan terlebih dahulu panjang r dimana r = OA yang dapat dicari dengan rumus Phytagoras yaitu:

OA      =  \(\sqrt{AB^2 + OB^2}\)

            =  \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

            =  \(\sqrt{9 + 16}\)

            =  \(\sqrt{25}\)

            =  5

Jadi, panjang r atau OA adalah 5 sehingga kita dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri cos a yaitu:

Cos a   =  \(\frac{Sa}{Mi}\)  =  \(\frac{x}{r}\) =  \(\frac{-4}{5}\) =   \(- \frac{4}{5}\)

Demikian penjelasan terkait kuadran pada perbandingan trigonometri. Semoga penjelasan ini bermanfaat untuk semua.