Prinsip Induksi Matematika

PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA 

Prinsip Induksi Matematika

Dalam ilmu matematika sebelum kita menggunakan suatu teorema atau rumus, penting bagi kita untuk membuktikan teorema atau rumus tersebut.

Ada dua cara yang bisa kita gunakan untuk membuktikan berbagai teorema atau rumus tersebut, yaitu dengan cara deduksi dan cara induksi.

Pembuktikan dengan cara deduksi adalah metode pembuktian yang dilakukan dari hal yang umum ke hal yang khusus. Kemudian sebaliknya, untuk pembuktian dengan cara induksi dilakukan dari hal yang khusus untuk didapatkan hal yang umum.

Nah pada laman ini, kita akan mempelajari salah satu metode pembuktian deduktif yang biasa digunakan dalam membuktikan suatu teorema atau rumus tertentu. Adapun metode atau prinsip yang digunakan adalah induksi matematika. Seperti apa penjelasannya? Silahkan kalian pelajari materi ini dengan baik.

Prinsip Induksi Matematika

Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian deduksi yang biasa digunakan untuk membuktikan apakah sebuah pernyataan itu bernilai benar atau salah.

Adapun pernyataan yang biasa dibuktikan dengan prinsip ini adalah pernyataan dalam bentuk barisan bilangan, keterbagian, dan ketidaksamaan.

Misalkan dipunyai sebuah pernyataan S(n). Pernyataan tersebut dapat dibuktikan dengan langkah-langkah sebagai berikut ini.

1.      Menunjukkan bahwa S(n) benar untuk n = 1 atau bisa dituliskan S(1) bernilai benar;

2.      Memisalkan S(n) benar untuk n = k atau bisa dituliskan S(k) bernilai benar;

3.      Menunjukkan bahwa S(n) benar untuk n = k + 1 atau bisa dituliskan S(k + 1) bernilai benar.

Untuk memudahkan kalian dalam memahami langkah-langkah tersebut, maka cermatilah contoh soal di bawah ini.

Contoh 1:

Buktikan bahwa 3 + 7 + 11 + … + (4n – 1) = 2n² + n berlaku untuk semua n bilangan asli!

Penyelesaian:

Dipunyai S(n) : 3 + 7 + 11 + … + (4n – 1) = 2n² + n

Adb. S(n) bernilai benar.

Bukti:

Adb. S(1) bernilai benar

S(1) :  4(1) – 1  =  2(1)² + 1

         :  4  – 1  =  2 + 1

S(1)  :  3  =  3 (terbukti)

Memisalkan S(k) bernilai benar

S(k) : 3 + 7 + 11 + … + (4k – 1) = 2k² + k  bernilai benar

Adb. S(k + 1) bernilai benar

S(k + 1)    : 3 + 7 + 11 + … + (4k – 1) + (4[k+1] – 1) = 2(k + 1)² + (k + 1)

                 : 2k² + k + (4[k+1] – 1) = 2(k + 1)² + (k + 1)

Ruas Kiri Sama Dengan:

2k² + k + (4[k+1] – 1)   =  2k² + k + 4k + 4 – 1

                                      =  2k² + 5k + 3

Ruas Kanan Sama Dengan:

2(k + 1)² + (k + 1)         =  2(k² + 2k + 1) + k + 1

                                      =  2k² + 4k + 2 + k + 1

                                      =  2k² + 4k + k + 2 + 1

                                      =  2k² + 5k + 3

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka S(k + 1) terbukti.

Karena pada masing-masing langkah terbukti, maka terbukti S(n) : 3 + 7 + 11 + … + (4n – 1) = 2n² + n bernilai benar untuk semua n bilangan asli.

Contoh 2:

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 berlaku untuk semua n bilangan asli!

Penyelesaian:

Dipunyai S(n) : 5ⁿ – 1 habis dibagi 4

Adb. S(n) bernilai benar.

Bukti:

Adb. S(1) bernilai benar

S(1) :  5¹ – 4

         :  5  – 1  =  4

S(1)  :  4 dan 4 jelas habis dibagi 4 (terbukti)

Memisalkan S(k) bernilai benar

S(k) : 5^k – 1 habis dibagi 4 bernilai benar.

Karena 5^k – 1 habis dibagi 4, maka 5^k – 1 dapat dinyatakan dengan 5^k – 1 = 4p dengan p sembarang bilangan asli.

Adb. S(k + 1) bernilai benar

S(k + 1)    :  5^{k + 1}  – 1

                 :  5^k . 5¹ – 1

                 :  5 . 5^k – 5 + 5 – 1

                 :  (5 . 5^k – 5) + 5 – 1

                 :  (5.[5^k – 1]) + 4

                 :  5.(4p) + 4

                 :  4.(5p) + 4

                 :  4.(5p + 1)

Karena 4.(5p + 1) adalah perkalian antara 4 dan (5p + 1), maka 4.(5p + 1) habis dibagi 4. Dengan demikian, S(k + 1) terbukti bernilai benar.

Karena pada masing-masing langkah terbukti, maka terbukti bahwa S(n) : 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 berlaku untuk semua n bilangan asli.

Demikian penjelasan terkait materi prinsip induksi matematika. Semoga penjelasan tersebut bermanfaat bagi kalian semua.