PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA
 |
| Prinsip Induksi Matematika |
Dalam
ilmu matematika sebelum kita menggunakan suatu teorema atau rumus, penting bagi
kita untuk membuktikan teorema atau rumus tersebut.
Ada
dua cara yang bisa kita gunakan untuk membuktikan berbagai teorema atau rumus tersebut,
yaitu dengan cara deduksi dan cara induksi.
Pembuktikan
dengan cara deduksi adalah metode pembuktian yang dilakukan dari hal yang umum
ke hal yang khusus. Kemudian sebaliknya, untuk pembuktian dengan cara induksi
dilakukan dari hal yang khusus untuk didapatkan hal yang umum.
Nah pada laman ini, kita akan mempelajari salah satu metode pembuktian deduktif yang biasa digunakan dalam membuktikan suatu teorema atau rumus tertentu. Adapun metode atau prinsip yang digunakan adalah induksi matematika. Seperti apa penjelasannya? Silahkan kalian pelajari materi ini dengan baik.
Prinsip Induksi Matematika
Induksi
matematika adalah salah satu metode pembuktian deduksi yang biasa digunakan
untuk membuktikan apakah sebuah pernyataan itu bernilai benar atau salah.
Adapun
pernyataan yang biasa dibuktikan dengan prinsip ini adalah pernyataan dalam
bentuk barisan bilangan, keterbagian, dan ketidaksamaan.
Misalkan
dipunyai sebuah pernyataan S(n). Pernyataan tersebut dapat dibuktikan dengan
langkah-langkah sebagai berikut ini.
1. Menunjukkan bahwa S(n) benar untuk n = 1
atau bisa dituliskan S(1) bernilai benar;
2. Memisalkan S(n) benar untuk n = k atau
bisa dituliskan S(k) bernilai benar;
3. Menunjukkan bahwa S(n) benar untuk n = k +
1 atau bisa dituliskan S(k + 1) bernilai benar.
Untuk
memudahkan kalian dalam memahami langkah-langkah tersebut, maka cermatilah
contoh soal di bawah ini.
Contoh 1:
Buktikan
bahwa 3 + 7 + 11 + … + (4n – 1) = 2n2 + n berlaku untuk semua n
bilangan asli!
Penyelesaian:
Dipunyai
S(n) : 3 + 7 + 11 + … + (4n – 1) = 2n2 + n
Adb.
S(n) bernilai benar.
Bukti:
Adb.
S(1) bernilai benar
S(1) : 4(1) – 1
= 2(1)2 + 1
: 4 – 1 = 2 + 1
S(1) : 3
= 3 (terbukti)
Memisalkan S(k) bernilai benar
S(k) : 3 + 7 + 11 + … + (4k – 1) = 2k2 + k bernilai benar
Adb. S(k + 1) bernilai benar
S(k + 1) : 3 + 7 + 11
+ … + (4k – 1) + (4[k+1] – 1) = 2(k + 1)2 + (k + 1)
: 2k2
+ k + (4[k+1] – 1) = 2(k + 1)2 + (k + 1)
Ruas Kiri Sama Dengan:
2k2 + k + (4[k+1] – 1) = 2k2 + k + 4k +
4 – 1
= 2k2 + 5k + 3
Ruas Kanan Sama Dengan:
2(k + 1)2 + (k + 1) = 2(k2 +
2k + 1) + k + 1
= 2k2 + 4k + 2 + k + 1
= 2k2 + 4k + k + 2 + 1
= 2k2 + 5k + 3
Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka S(k + 1)
terbukti.
Karena pada masing-masing langkah terbukti, maka terbukti S(n) : 3 + 7 + 11 + … + (4n – 1) = 2n2 + n bernilai benar untuk semua n bilangan asli.
Contoh 2:
Dengan
induksi matematika, buktikan bahwa 5n – 1 habis dibagi 4 berlaku
untuk semua n bilangan asli!
Penyelesaian:
Dipunyai
S(n) : 5n – 1 habis dibagi 4
Adb.
S(n) bernilai benar.
Bukti:
Adb.
S(1) bernilai benar
S(1) : 51 – 4
: 5 – 1 = 4
S(1) : 4 dan 4 jelas habis dibagi 4 (terbukti)
Memisalkan S(k) bernilai benar
S(k) : 5k – 1 habis dibagi 4 bernilai benar.
Karena 5k – 1 habis dibagi 4, maka 5k –
1 dapat dinyatakan dengan 5k – 1 = 4p dengan p sembarang bilangan
asli.
Adb. S(k + 1) bernilai benar
S(k + 1) : 5k + 1 – 1
: 5k . 51 – 1
: 5 . 5k – 5 + 5 – 1
: (5 . 5k – 5) + 5 – 1
: (5.[5k – 1]) + 4
: 5.(4p) + 4
: 4.(5p) + 4
: 4.(5p + 1)
Karena 4.(5p + 1) adalah perkalian antara 4 dan (5p + 1),
maka 4.(5p + 1) habis dibagi 4. Dengan demikian, S(k + 1) terbukti bernilai
benar.
Karena pada masing-masing langkah terbukti, maka terbukti bahwa
S(n) : 5n – 1 habis dibagi 4 berlaku untuk semua n bilangan asli.
Demikian penjelasan terkait materi prinsip induksi matematika. Semoga penjelasan tersebut bermanfaat bagi kalian semua.
