DERET GEOMETRI
TAK HINGGA BESERTA CONTOH SOALNYA
 |
| Deret Geometri Tak Hingga |
Pernahkah
kalian mendengar kata tak hingga? Apa yang ada dalam pikiran kalian ketika
mendengar kata tersebut? Jika kalian menjawab “Tak Terbatas”, maka jawaban
kalian tepat sekali.
Perhatikan
contoh deret geometri di bawah ini.
1) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …
2) 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + …
3) \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}
+ ... \)
4) \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \frac{1}{54} +
... \)
Deret-deret
geometri di atas adalah contoh deret geometri tak hingga. Lalu, tahukah kalian
apa itu deret geometri tak hingga? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari
kita pelajari bersama materi di bawah ini.
Pengertian Deret Geometri Tak Hingga
Secara
definisi, deret geometri tak hingga dapat
diartikan sebagai berikut.
 |
| Pengertian Deret Geometri Tak Hingga |
Pada contoh
di atas, deret geometri tak hingga yang ditunjukkan dengan nomor 1) dan 2),
yaitu:
1) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …
2) 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + …
merupakan
contoh deret geometri tak hingga divergen.
Deret geometri tak hingga
divergen adalah deret geometri dimana nilai bilangannya semakin
membesar dan tidak dapat ditentukan jumlahnya. Mengapa demikian? Hal ini
dikarenakan pada deret geometri tak hingga divergen, nilainya semakin membesar
dan tidak terbatas. Adapun rasio dari deret geometri tak hingga divergen adalah
r dengan \( \left | r \right | > 1 \).
Selanjutnya,
untuk contoh deret geometri tak hingga yang ditunjukkan dengan nomor 3) dan 4),
yaitu:
1) \( 1 + \frac{1}{2} +
\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... \)
2) \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \frac{1}{54} +
... \)
merupakan contoh deret geometri tak hingga
konvergen.
Deret geometri tak hingga konvergen
merupakan kebalikan dari deret geometri tak hingga divergen yaitu deret
geometri dimana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat ditentukan
jumlahnya. Adapun rasio dari deret geometri tak hingga konvergen adalah r
dengan \( \left | r \right | < 1 \).
Menentukan Jumlah Tak Hingga Suku dari Deret
Geometri Tak Hingga
Seperti
kita ketahui bahwa deret geometri yang dapat ditentukan jumlah tak hingga
sukunya adalah deret geometri tak hingga konvergen.
Misalkan
dipunyai deret geometri tak hingga yang dinyatakan dalam bentuk sebagai
berikut.
\({U}_{1} + {U}_{2} + {U}_{3} + {U}_{4} +{U}_{5} + {U}_{6}
+ ... \)
Untuk
menentukan jumlah tak hingga suku dari deret geometri tak hingga di atas dapat
digunakan rumus sebagai berikut.
 |
| Rumus Jumlah Tak Hingga Deret Geometri |
Untuk memahami
rumus di atas, silahkan kalian pelajari contoh-contoh soal di bawah ini.
Contoh 1
Diberikan
deret geometri sebagai berikut.
\( 1 +
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... \)
Tentukan
jumlah tak hingga suku dari deret geometri tak hingga di atas!
Penyelesaian:
\( 1 +
\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... \)
Dari deret
tersebut, didapati:
a = 1
r = \(\frac{U_{2}}{U_{1}}\)
= \(\frac{\frac{1}{2}}{1}\)
r = \(\frac{1}{2}\)
Karena didapati nilai rasio ( r ) = \(\frac{1}{2} < 1 \), jelas bahwa deret di atas adalah deret geometri tak hingga
konvergen sehingga untuk menentukan jumlah tak hingga suku dapat digunakan
rumus sebagai berikut.
\(S_{\infty}\) = \(\frac{a}{1 – r}\)
\(S_{\infty}\) = \(\frac{1}{1 – \frac{1}{2}}\)
= \(\frac{1}{\frac{1}{2}}\)
= 2
\(S_{\infty}\) = 2
Jadi,
jumlah tak hingga suku dari deret geometri tak hingga di atas adalah 2.
Contoh 2
Diberikan
deret geometri tak hingga dengan suku kedua 48 dan suku kelima 6. Tentukan suku
pertama, rasio, dan jumlah tak hingga suku dari deret tersebut!
Penyelesaian:
\(U_{2}\) =
48 \(\leftrightarrow \) \(ar\) = 48 \(\leftrightarrow
\) \(a\) = \(\frac{48}{r}\)
…………… (1)
\(U_{5}\) = 6 \(\leftrightarrow
\) \(ar^{4}\) = 6 \(\leftrightarrow
\) \(a\) = \(\frac{6}{r^{4}}\) …………… (2)
Dari persamaan (1) dan (2), didapati bahwa:
\(\frac{48}{r}\) = \(\frac{6}{r^{4}}\)
\(\leftrightarrow \) \(\frac{r^{4}}{r} \) = \(\frac{6}{48}\)
\(\leftrightarrow \) \(r^{3}\) = \(\frac{1}{8}\)
\(\leftrightarrow \) \(r\) =
\(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\)
\(\leftrightarrow \) \(r\) =
\(\frac{1}{2}\)
Jadi rasio dari deret di atas adalah \(\frac{1}{2}\)
Selanjutnya, untuk menentukan suku pertama (a) dari deret
geometri tersebut, maka substitusikan nilai r = \(\frac{1}{2}\) ke persamaan
(1) atau (2).
Misalkan
nilai r = \(\frac{1}{2}\) disubstitusikan ke persamaan (1) dengan perhitungan
sebagai berikut.
r = \(\frac{1}{2}\) \(\rightarrow \) a = \(\frac{48}{r}\)
a =
\(\frac{48}{\frac{1}{2}}\)
a = 96
Jadi, suku pertama ( a ) dari deret di atas adalah 96.
Untuk
yang selanjutnya, menentukan jumlah tak hingga (\(S_{\infty}\)) suku dari deret
geometri tak hingga di atas.
Jelas bahwa deret di atas adalah deret geometri tak hingga
konvergen karena diketahui nilai rasio ( r ) = \(\frac{1}{2}
< 1\), sehingga untuk menentukan jumlah tak hingga
suku dapat digunakan rumus sebagai berikut.
\(S_{\infty}\) = \(\frac{a}{1 –
r}\)
\(S_{\infty}\) = \(\frac{96}{1 –
\frac{1}{2}}\)
= \(\frac{96}{\frac{1}{2}}\)
= 192
\(S_{\infty}\) = 192
Jadi, jumlah tak hingga suku dari deret geometri tak hingga
di atas adalah 192.
Berdasarkan pembahasan dan dua contoh soal di atas, tentunya
kalian sudah mampu memahami materi tentang deret geometri tak hingga ini bukan?
Demikian penjelasan terkait materi deret geometri tak hingga beserta
contoh soalnya. Semoga bermanfaat untuk semua.
