Kuadran Pada Perbandingan Trigonometri

KUADRAN PADA PERBANDINGAN TRIGONOMETRI 

Kuadran Pada Perbandingan Trigonometri

Pada materi perbandingan trigonometri, untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri dari sebuah sudut dengan besar lebih dari 90^o, maka ada beberapa hal yang harus kalian pahami terlebih dahulu. Salah satunya adalah kuadran.

Kuadran adalah suatu daerah yang dibatasi oleh sumbu X dan sumbu Y pada sebuah koordinat kartesius.

Dari pengertian tersebut maka pada sebuah koordinat kartesius, terdapat 4 daerah yang disebut sebagai kuadran. Adapun nama dari masing-masing daerah atau kuadran tersebut adalah kuadran I, II, III, dan IV. Masing-masing kuadan tersebut tentunya dibatasi oleh sumbu X dan sumbu Y pada koordinat kartesius.

Untuk mempermudah dalam memahami penjelasan di atas, maka perhatikanlah gambar di bawah ini dengan cermat.

Kuadran Pada Perbandingan Trigonometri

Dari gambar di atas, maka didapati informasi tentang kuadran I, II, III, dan IV sebagai berikut.

Kuadran I; Kuadran I adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X⁺ dan sumbu Y⁺. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran I adalah sudut yang besarnya antara 0^o sampai 90^o atau bisa dituliskan 0^o < a^o < 90^o.

Kuadran II; Kuadran II adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X^- dan sumbu Y⁺. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran II adalah sudut yang besarnya antara 90^o sampai 180^o atau bisa dituliskan 90^o < a^o < 180^o.

Kuadran III; Kuadran III adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X^- dan sumbu Y^-. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran III adalah sudut yang besarnya antara 180^o sampai 270^o atau bisa dituliskan 180^o < a^o < 270^o.

Kuadran IV; Kuadran IV adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu X⁺ dan sumbu Y^-. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran IV adalah sudut yang besarnya antara 270^o sampai 360^o atau bisa dituliskan 270^o < a^o < 360^o.

Tanda Perbandingan Trigonometri di Kuadran I

Seperti yang sudah disampaikan di atas bahwa kuadran I adalah kuadran yang dibatasi oleh sumbu X⁺ dan sumbu Y⁺. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran I adalah sudut yang besarnya antara 0^o sampai 90^o. Nah dari penjelasan tersebut, misalkan dipunyai sudut a yang digambarkan sebagai berikut.

Kuadran I

Dari gambar tersebut, diketahui bahwa sudut a memiliki besar antara 0^o sampai 90^o  sehingga sudut a terletak di kuadran I dengan x bernilai positif dan y juga bernilai positif. Adapun tanda perbandingan trigonometri pada kuadran I sesuai dengan gambar di atas antara lain sebagai berikut.

1.      sin a              =  \(\frac{De}{Mi}\)  =  \(\frac{y}{r}\)  bertanda  +

2.      cos a             =  \(\frac{Sa}{Mi}\)  =  \(\frac{x}{r}\)  bertanda  +

3.      tan a             =  \(\frac{De}{Sa}\)  =  \(\frac{y}{x}\)  bertanda  +

4.      cot a             =  \(\frac{Sa}{De}\)  =  \(\frac{x}{y}\)  bertanda  +

5.      sec a             =  \(\frac{Mi}{Sa}\)  =  \(\frac{r}{x}\)  bertanda  +

6.      cosec a         =  \(\frac{Mi}{De}\)  =  \(\frac{r}{y}\)  bertanda  +

Dari perhitungan yang telah dilakukan, maka didapati bahwa setiap perbandingan trigonometri yang dilakukan di kuadran I selalu menghasilkan bilangan bertanda positif.

Tanda Perbandingan Trigonometri di Kuadran II

Selanjutnya, kuadran II adalah kuadran yang dibatasi oleh sumbu X^- dan sumbu Y⁺. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran II adalah sudut yang besarnya antara 90^o sampai 180^o. Nah dari penjelasan tersebut, misalkan dipunyai sudut a yang digambarkan sebagai berikut.

Kuadran II

Dari gambar tersebut, diketahui bahwa sudut a memiliki besar antara 90^o sampai 180^o  sehingga sudut a terletak di kuadran II dengan x bernilai negatif dan y bernilai positif. Adapun tanda perbandingan trigonometri pada kuadran II sesuai dengan gambar di atas antara lain sebagai berikut.

1.      sin a              =  \(\frac{De}{Mi}\)  =  \(\frac{y}{r}\)  bertanda  +

2.      cos a             =  \(\frac{Sa}{Mi}\)  =  \(\frac{-x}{r}\)  bertanda  -

3.      tan a             =  \(\frac{De}{Sa}\)  =  \(\frac{y}{-x}\)  bertanda  -

4.      cot a             =  \(\frac{Sa}{De}\)  =  \(\frac{-x}{y}\)  bertanda  -

5.      sec a             =  \(\frac{Mi}{Sa}\)  =  \(\frac{r}{-x}\)  bertanda  -

6.      cosec a         =  \(\frac{Mi}{De}\)  =  \(\frac{r}{y}\)  bertanda  +

Dari perhitungan yang telah dilakukan, maka didapati bahwa perbandingan trigonometri yang dilakukan di kuadran II selalu menghasilkan bilangan bertanda positif jika perbandingannya berupa perbandingan sin dan cosec.

Tanda Perbandingan Trigonometri di Kuadran III

Untuk kuadran III, kuadran III adalah kuadran yang dibatasi oleh sumbu X^- dan sumbu Y^-. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran III adalah sudut yang besarnya antara 180^o sampai 270^o. Nah dari penjelasan tersebut, misalkan dipunyai sudut a yang digambarkan sebagai berikut.

Kuadran III

Dari gambar tersebut, diketahui bahwa sudut a memiliki besar antara 180^o sampai 270^o  sehingga sudut a terletak di kuadran III dengan x bernilai negatif dan y juga bernilai negatif. Adapun tanda perbandingan trigonometri pada kuadran III sesuai dengan gambar di atas antara lain sebagai berikut.

1.      sin a              =  \(\frac{De}{Mi}\)  =  \(\frac{-y}{r}\)  bertanda  -

2.      cos a             =  \(\frac{Sa}{Mi}\)  =  \(\frac{-x}{r}\)  bertanda  -

3.      tan a             =  \(\frac{De}{Sa}\)  =  \(\frac{-y}{-x}\)  bertanda  +

4.      cot a             =  \(\frac{Sa}{De}\)  =  \(\frac{-x}{-y}\)  bertanda  +

5.      sec a             =  \(\frac{Mi}{Sa}\)  =  \(\frac{r}{-x}\)  bertanda  -

6.      cosec a         =  \(\frac{Mi}{De}\)  =  \(\frac{r}{-y}\)  bertanda  -

Dari perhitungan yang telah dilakukan, maka didapati bahwa perbandingan trigonometri yang dilakukan di kuadran III selalu menghasilkan bilangan bertanda positif jika perbandingannya berupa perbandingan tan dan cot.

Tanda Perbandingan Trigonometri di Kuadran IV

Untuk kuadran IV, kuadran IV adalah kuadran yang dibatasi oleh sumbu X⁺ dan sumbu Y^-. Sudut yang dapat terbentuk pada kuadran IV adalah sudut yang besarnya antara 270^o sampai 360^o. Nah dari penjelasan tersebut, misalkan dipunyai sudut a yang digambarkan sebagai berikut.

Kuadran IV

Dari gambar tersebut, diketahui bahwa sudut a memiliki besar antara 270^o sampai 360^o  sehingga sudut a terletak di kuadran IV dengan x bernilai positif dan y bernilai negatif. Adapun tanda perbandingan trigonometri pada kuadran IV sesuai dengan gambar di atas antara lain sebagai berikut.

1.      sin a              =  \(\frac{De}{Mi}\)  =  \(\frac{-y}{r}\)  bertanda  -

2.      cos a             =  \(\frac{Sa}{Mi}\)  =  \(\frac{x}{r}\)  bertanda  +

3.      tan a             =  \(\frac{De}{Sa}\)  =  \(\frac{-y}{x}\)  bertanda  -

4.      cot a             =  \(\frac{Sa}{De}\)  =  \(\frac{x}{-y}\)  bertanda  -

5.      sec a             =  \(\frac{Mi}{Sa}\)  =  \(\frac{r}{x}\)  bertanda  +

6.      cosec a         =  \(\frac{Mi}{De}\)  =  \(\frac{r}{-y}\)  bertanda  -

Dari perhitungan yang telah dilakukan, maka didapati bahwa perbandingan trigonometri yang dilakukan di kuadran IV selalu menghasilkan bilangan bertanda positif jika perbandingannya berupa perbandingan cos dan sec.

Kesimpulan

Berdasarkan penjelasan-penjelasan di atas, maka kita bisa membuat sebuah kesimpulan terkait tanda dalam perbandingan trigonometri pada masing-masing kuadran yang digambarkan sebagai berikut.

Tanda Pada Masing-Masing Kuadran

Untuk lebih jelasnya, mari kita cermati dan pelajari bersama contoh-contoh soal di bawah ini.

Contoh 1:

Tentukan tanda dari perbandingan trigonometri:

Cos 120^o

Tan 225^o

Penyelesaian:

Untuk perbandingan trigonometri cos 120^o

Seperti yang kita ketahui bahwa sudut dengan besar 120^o terletak diantara 90^o dan 180^o atau bisa dituliskan 90^o < 120^o < 180^o sehingga sudut dengan besar 120^o terletak pada kuadran II. Oleh karena itu sesuai dengan perhitungan yang kita miliki, cos 120^o memiliki nilai dengan tanda negatif.

Untuk perbandingan trigonometri tan 225^o

Seperti yang kita ketahui bahwa sudut dengan besar 225^o terletak diantara 180^o dan 270^o atau bisa dituliskan 180^o < 225^o < 270^o sehingga sudut dengan besar 225^o terletak pada kuadran III. Oleh karena itu sesuai dengan perhitungan yang kita miliki, tan 225^o memiliki nilai dengan tanda positif.

Contoh 2:

Tentukan nilai perbandingan trigonometri cos dari sudut  a dimana sudut a adalah sebuah sudut yang terbentuk dari titik A(-4, -3) dan sumbu X.

Penyelesaian:

Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar Soal 2

Untuk menentukan nilai cos, maka kita harus menentukan terlebih dahulu panjang r dimana r = OA yang dapat dicari dengan rumus Phytagoras yaitu:

OA      =  \(\sqrt{AB^2 + OB^2}\)

            =  \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

            =  \(\sqrt{9 + 16}\)

            =  \(\sqrt{25}\)

            =  5

Jadi, panjang r atau OA adalah 5 sehingga kita dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri cos a yaitu:

Cos a   =  \(\frac{Sa}{Mi}\)  =  \(\frac{x}{r}\) =  \(\frac{-4}{5}\) =   \(- \frac{4}{5}\)

Demikian penjelasan terkait kuadran pada perbandingan trigonometri. Semoga penjelasan ini bermanfaat untuk semua.

Prinsip Induksi Matematika

PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA 

Prinsip Induksi Matematika

Dalam ilmu matematika sebelum kita menggunakan suatu teorema atau rumus, penting bagi kita untuk membuktikan teorema atau rumus tersebut.

Ada dua cara yang bisa kita gunakan untuk membuktikan berbagai teorema atau rumus tersebut, yaitu dengan cara deduksi dan cara induksi.

Pembuktikan dengan cara deduksi adalah metode pembuktian yang dilakukan dari hal yang umum ke hal yang khusus. Kemudian sebaliknya, untuk pembuktian dengan cara induksi dilakukan dari hal yang khusus untuk didapatkan hal yang umum.

Nah pada laman ini, kita akan mempelajari salah satu metode pembuktian deduktif yang biasa digunakan dalam membuktikan suatu teorema atau rumus tertentu. Adapun metode atau prinsip yang digunakan adalah induksi matematika. Seperti apa penjelasannya? Silahkan kalian pelajari materi ini dengan baik.

Prinsip Induksi Matematika

Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian deduksi yang biasa digunakan untuk membuktikan apakah sebuah pernyataan itu bernilai benar atau salah.

Adapun pernyataan yang biasa dibuktikan dengan prinsip ini adalah pernyataan dalam bentuk barisan bilangan, keterbagian, dan ketidaksamaan.

Misalkan dipunyai sebuah pernyataan S(n). Pernyataan tersebut dapat dibuktikan dengan langkah-langkah sebagai berikut ini.

1.      Menunjukkan bahwa S(n) benar untuk n = 1 atau bisa dituliskan S(1) bernilai benar;

2.      Memisalkan S(n) benar untuk n = k atau bisa dituliskan S(k) bernilai benar;

3.      Menunjukkan bahwa S(n) benar untuk n = k + 1 atau bisa dituliskan S(k + 1) bernilai benar.

Untuk memudahkan kalian dalam memahami langkah-langkah tersebut, maka cermatilah contoh soal di bawah ini.

Contoh 1:

Buktikan bahwa 3 + 7 + 11 + … + (4n – 1) = 2n² + n berlaku untuk semua n bilangan asli!

Penyelesaian:

Dipunyai S(n) : 3 + 7 + 11 + … + (4n – 1) = 2n² + n

Adb. S(n) bernilai benar.

Bukti:

Adb. S(1) bernilai benar

S(1) :  4(1) – 1  =  2(1)² + 1

         :  4  – 1  =  2 + 1

S(1)  :  3  =  3 (terbukti)

Memisalkan S(k) bernilai benar

S(k) : 3 + 7 + 11 + … + (4k – 1) = 2k² + k  bernilai benar

Adb. S(k + 1) bernilai benar

S(k + 1)    : 3 + 7 + 11 + … + (4k – 1) + (4[k+1] – 1) = 2(k + 1)² + (k + 1)

                 : 2k² + k + (4[k+1] – 1) = 2(k + 1)² + (k + 1)

Ruas Kiri Sama Dengan:

2k² + k + (4[k+1] – 1)   =  2k² + k + 4k + 4 – 1

                                      =  2k² + 5k + 3

Ruas Kanan Sama Dengan:

2(k + 1)² + (k + 1)         =  2(k² + 2k + 1) + k + 1

                                      =  2k² + 4k + 2 + k + 1

                                      =  2k² + 4k + k + 2 + 1

                                      =  2k² + 5k + 3

Karena ruas kiri sama dengan ruas kanan maka S(k + 1) terbukti.

Karena pada masing-masing langkah terbukti, maka terbukti S(n) : 3 + 7 + 11 + … + (4n – 1) = 2n² + n bernilai benar untuk semua n bilangan asli.

Contoh 2:

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 berlaku untuk semua n bilangan asli!

Penyelesaian:

Dipunyai S(n) : 5ⁿ – 1 habis dibagi 4

Adb. S(n) bernilai benar.

Bukti:

Adb. S(1) bernilai benar

S(1) :  5¹ – 4

         :  5  – 1  =  4

S(1)  :  4 dan 4 jelas habis dibagi 4 (terbukti)

Memisalkan S(k) bernilai benar

S(k) : 5^k – 1 habis dibagi 4 bernilai benar.

Karena 5^k – 1 habis dibagi 4, maka 5^k – 1 dapat dinyatakan dengan 5^k – 1 = 4p dengan p sembarang bilangan asli.

Adb. S(k + 1) bernilai benar

S(k + 1)    :  5^{k + 1}  – 1

                 :  5^k . 5¹ – 1

                 :  5 . 5^k – 5 + 5 – 1

                 :  (5 . 5^k – 5) + 5 – 1

                 :  (5.[5^k – 1]) + 4

                 :  5.(4p) + 4

                 :  4.(5p) + 4

                 :  4.(5p + 1)

Karena 4.(5p + 1) adalah perkalian antara 4 dan (5p + 1), maka 4.(5p + 1) habis dibagi 4. Dengan demikian, S(k + 1) terbukti bernilai benar.

Karena pada masing-masing langkah terbukti, maka terbukti bahwa S(n) : 5ⁿ – 1 habis dibagi 4 berlaku untuk semua n bilangan asli.

Demikian penjelasan terkait materi prinsip induksi matematika. Semoga penjelasan tersebut bermanfaat bagi kalian semua.

Sifat-Sifat Limit Beserta Contoh Soalnya

SIFAT-SIFAT LIMIT BESERTA CONTOH SOALNYA 

Sifat-Sifat Limit Beserta Contoh Soalnya

Pada laman sebelumnya, kita sudah membahas tentang bagaimana cara untuk menentukan nilai limit dari sebuah fungsi aljabar f(x) untuk x mendekati a dimana a adalah suatu bilangan tertentu. Pada laman tersebut, kita mendapati bahwa untuk menentukan nilai limit dari sebuah fungsi maka terdapat beberapa langkah yang harus dilakukan diantaranya:

Langkah 1:

Substitusikan atau ganti x = a pada fungsi f(x) sehingga didapati \(\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right )\) = \(f\left(a \right )\). Jika f(a) tidak berbentuk   \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\),  \(\infty\) - \(\infty\)   (bentuk tak tentu), maka f(a) adalah nilai limitnya. Namun jika f(a) merupakan salah satu dari tiga bentuk tersebut, maka kita lanjut pada langkah kedua.

Langkah 2:

Jika pada langkah 1 didapati f(a) berbentuk \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\),  \(\infty\) - \(\infty\)   (bentuk tak tentu), maka kita harus melakukan pemfaktoran atau mengalikan dengan akar sekawan terhadap fungsi f(x) yang kita miliki tadi.

Selanjutnya untuk mempermudah kita dalam melakukan perhitungan di atas, kita akan membahas sifat-sifat limit yang nantinya dapat kita gunakan untuk menentukan nilai limit dari suatu fungsi aljabar. Nah seperti apa penjelasannya? Silahkan kalian pelajari materi sifat-sifat limit ini dengan seksama.

Sifat-Sifat Limit

Sifat-sifat limit pada dasarnya merupakan teorema-teorema yang berkaitan dengan konsep limit. Teorema-teorema ini biasanya digunakan untuk mempermudah kita dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang berkaitan dengan limit.

Sifat 1:

Misalkan k dan a adalah konstanta real, maka limit fungsi k untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 1 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 1:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 4} 2\) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 4} 2\)    =  2

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 4} 2\)  = 2.

Sifat 2:

Misalkan a adalah konstanta real, maka limit fungsi x untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 2 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 2:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 3} x \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 3} x \)    =  3

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 3} x \)    =  3.

Sifat 3:

Misalkan k dan a adalah konstanta real, f(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi k.f(x) untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 3 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 3:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2\) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2\)         =  2 . \(\lim_{x \rightarrow 1} x^2\)

                            =  2 . (1)²

                            =  2 . 1

                            =  2

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2\) = 2.

Sifat 4:

Misalkan a adalah konstanta real, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi [f(x) + g(x)] untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 4 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 4:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(3x^2 + 4x\right) \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \left(3x^2 + 4x\right) \)    =  \(\lim_{x \rightarrow 1} 3x^2\)  +  \(\lim_{x \rightarrow 1} 4x\)

                                    =  3 .  \(\lim_{x \rightarrow 1} x^2\)  +  4 . \(\lim_{x \rightarrow 1} x\)

                                    =  3 . (1)²  +  4 . 1

                                    =  3 . 1  +  4 . 1

                                    =  3  +  4

                                    =  7

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(3x^2 + 4x\right) \) = 7.

Sifat 5:

Misalkan a adalah konstanta real, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi [f(x) – g(x)] untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 5 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 5:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2 - 5x\right) \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2 - 5x\right) \)    =  \(\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2\)  -  \(\lim_{x \rightarrow 1} 5x\)

                                    =  2 .  \(\lim_{x \rightarrow 1} x^2\)  -  5 . \(\lim_{x \rightarrow 1} x\)

                                    =  2 . (1)²  -  5 . 1

                                    =  2 . 1  -  5 . 1

                                    =  2  -  5

                                    =  -3

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2 - 5x\right) \) = -3.

Sifat 6:

Misalkan a adalah konstanta real, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi [f(x) x g(x)] untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 6 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 6:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right) \left(x + 1\right) \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right) \left(x + 1\right) \)

=  \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right)\)  \(\times \) \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(x + 1\right)\)

=  \(\left[\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2 \right] \) \(\times \) \(\left[\lim_{x \rightarrow 1} \left(x + 1\right) \right]\)

=  \(\left[\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2 \right] \) \(\times \) \(\left[\lim_{x \rightarrow 1} x  +  \lim_{x \rightarrow 1} 1 \right]\)

=  [2 . (1)²] x [1 + 1]

=  [2 . 1] x [1 + 1]

=  2 x 2

=  4

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right) \left(x + 1\right) \) = 4.

Sifat 7:

Misalkan a adalah konstanta real, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi \(\frac{f(x)}{g(x)}\) untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 7 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 7:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x}{5} \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x}{5} \)  =  \(\frac{\lim_{x \rightarrow 1} 2x}{\lim_{x \rightarrow 1} 5} \)

                   =  \(\frac{2 . \lim_{x \rightarrow 1} x}{\lim_{x \rightarrow 1} 5} \)

                   =  \(\frac{2 . 1}{5} \)

                   =  \(\frac{2}{5} \)

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x}{5} \) =  \(\frac{2}{5} \).

Sifat 8:

Misalkan a, n adalah konstanta real, f(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi [f(x)]ⁿ untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 8 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 8:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right)^3 \) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right)^3 \)  =  \(\left[\lim_{x \rightarrow 1} 2x^2\right]^3\)

                           =  \(\left[2 . \lim_{x \rightarrow 1} x^2\right]^3\)

                           =  [2 . (1)²]³

                           =  [2 . 1]³

                           =  [2]³

                           =  8

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} \left(2x^2\right)^3 \) = 8.

Sifat 9:

Misalkan a, n adalah konstanta real, f(x) adalah fungsi yang memiliki limit di a, maka limit fungsi

\(\sqrt[n]{f(x)}\) untuk x mendekati a dapat ditentukan dengan:

Sifat 9 Limit Fungsi

Untuk lebih jelasnya, maka perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh 9:

Tentukan nilai dari \(\lim_{x \rightarrow 1} \sqrt{x^2}\) !

Penyelesaian:

\(\lim_{x \rightarrow 1} \sqrt{x^2}\)      =  \(\sqrt{\lim_{x \rightarrow 1} x^2}\)

                           =  \(\sqrt{1^2}\)

                           =  \(\sqrt{1}\)

                           =  \(1\)

Jadi, nilai \(\lim_{x \rightarrow 1} \sqrt{x^2}\) = 1.

Demikian penjelasan terkait materi sifat-sifat limit beserta contohnya. Semoga penjelasan ini bermanfaat untuk kalian semua.