Mari Mengerjakan Penilaian Harian Materi Barisan dan Deret

MARI MENGERJAKAN PENILAIAN MATERI BARISAN DAN DERET 

Penilaian Materi Barisan dan Deret

Setelah kalian mempelajari materi dan mengerjakan tugas-tugas yang berkaitan dengan barisan dan deret, tentunya langkah selanjutnya yang harus dilakukan adalah melakukan penilaian terkait materi tersebut.

Dalam melaksanakan penilaian tersebut, soal yang dapat diberikan kepada siswa bisa berupa soal pilihan ganda, essay, ataupun gabungan keduanya.

Penilaian yang demikian tersebut bertujuan untuk mengetahui seberapa dalam pemahaman yang dimiliki siswa terkait materi yang sudah mereka dapati yaitu materi barisan dan deret.

Berikut adalah beberapa soal yang berkaitan dengan materi barisan dan deret aritmatika ataupun geometri yang harus kalian kerjakan sebagai penilaian harian.

Selesaikan permasalahan di bawah ini dengan jawaban yang sesuai!!

1.       Barisan adalah kumpulan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu. Misalkan dipunyai barisan dalam bentuk sebagai berikut.

-7,  -4,  -1,  2,  5,  8,  11,  14, ….

Menurut kalian benarkah jika rumus suku ke-n dari barisan di atas adalah 3n – 10? Berikan alasan atas jawaban yang kalian sampaikan melalui perhitungan matematisnya !

2.       Barisan aritmatika adalah barisan dimana selisih antara satu suku dengang suku sebelumnya adalah konstan. Misalkan terdapat dua barisan aritmatika dengan ketentuan sebagai berikut:

Pada barisan aritmatika pertama, suku kelimanya adalah 23 dan suku kedua belasnya adalah 51.

Sedangkan pada barisan aritmatika kedua, suku keduanya adalah 11 dan suku ketujuhnya adalah 31.

Melalui perhitungan matematika, tentukan apakah rumus suku ke-n barisan aritmatika pertama sama bentuknya dengan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika kedua !

3.       Barisan geometri adalah barisan dimana rasio antara satu suku dengan suku sebelumnya adalah selalu tetap. Misalkan dipunyai barisan geometri adalah sebagai berikut.

4,  8,  16,  32, …

Tentukan nilai suku kesembilan dikurangi 1 dari barisan geometri tersebut !

4.       Deret aritmatika adalah penjumlahan yang dilakukan terhadap suku-suku dalam barisan aritmatika.

Diketahui suku kelima dan suku kesembilan dari deret aritmatika berturut-turut adalah 27 dan 39.

Dengan menggunakan perhitungan matematis, tentukan jumlah 25 suku pertama dari deret aritmatika di atas !

5.       Jika deret aritmatika adalah penjumlahan yang dilakukan terhadap suku-suku barisan aritmatika, maka deret geometri adalah penjumlahan yang dilakukan terhadap suku-suku dalam barisan geometri.

Suatu deret geometri mempunyai suku kedua sama dengan 12 dan suku keempat sama dengan 48.

Jika rasionya positif, tentukan jumlah 15 suku pertama dari deret tersebut !

6.      Diberikan dua buah deret geometri tak hingga sebagai berikut.

a)      2,  1,  \(\frac{1}{2}\),  \(\frac{1}{4}\), …

b)      3,  \(\frac{3}{4}\),  \(\frac{3}{8}\),  \(\frac{3}{16}\), …

Menurut kalian, apakah kedua deret di atas memiliki jumlah tak hingga yang sama? Buktikan melalui perhitungan matematis kalian!

7.       Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 150 gram mengalami reaksi kimia sehingga menyusut 15% dari ukuran sebelumnya setiap 12 jam. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari !

8.       Alva menabung di bank sebesar Rp 20.000.000,00 dengan bunga majemuk 4% per tahun. Tabungan tersebut tidak pernah diambil. Tentukan besar tabungan Alva setelah 3 tahun !

Silahkan kalian kerjakan soal-soal tersebut sesuai dengan waktu yang telah diinstruksikan oleh guru kalian.

Demikian beberapa soal yang bisa kalian kerjakan untuk menambah pengetahuan kalian dan memperdalam pemahaman kalian terkait materi barisan dan deret, khususnya pada materi barisan dan deret aritmatika dan geometri.

Semoga materi ini bisa bermanfaat untuk banyak orang, khususnya peserta didik di kelas 10 ataupun kelas 11.

Mari Mengerjakan Tugas Barisan dan Deret

MARI MENGERJAKAN TUGAS BARISAN DAN DERET 

Tugas Barisan dan Deret

Setelah kalian mempelajari materi barisan dan deret, tentunya penting bagi kalian untuk mengetahui seberapa dalam pemahaman yang sudah kalian dapatkan itu. Nah, salah satu cara yang bisa kita lakukan untuk mengetahui hal tersebut tentunya adalah dengan mengerjakan berbagai tugas yang berkaitan dengan materi tersebut.

Berikut adalah beberapa soal yang berkaitan dengan materi barisan dan deret aritmatika ataupun geometri yang bisa kalian kerjakan sebagai tugas.

Selesaikan permasalahan di bawah ini dengan jawaban yang sesuai!!

1. Barisan adalah kumpulan bilangan yang memiliki pola 

        atau aturan tertentu. 

        Misalkan dipunyai barisan dalam bentuk sebagai berikut.

        -5,  -2,  1,  4,  7,  10,  13,  16,  …

        Tentukan rumus suku ke-n dari barisan di atas !

2. Barisan aritmatika adalah barisan dimana selisih antara 

        satu suku dengan suku sebelumnya adalah konstan.

        Misalkan dipunyai barisan aritmatika dengan suku 

        kelimanya adalah 23 dan suku kedua 

        belasnya adalah 51. 

        Tentukan suku ketiga dari barisan aritmatika tersebut !

3. Barisan geometri adalah barisan dimana rasio antara 

        satu suku dengan suku sebelumnya adalah selalu 

        tetap. 

        Misalkan dipunyai barisan geometri adalah sebagai 

        berikut.

        3,  12,  48,  …

        Tentukan suku kesembilan dari barisan geometri 

        tersebut !

4. Deret aritmatika adalah penjumlahan yang dilakukan 

        terhadap suku-suku dalam barisan aritmatika.

        Diketahui suku kelima dan suku kesembilan dari 

        deret aritmatika berturut-turut 

        adalah 27 dan 39.

        Dari deret di atas, tentukan jumlah 20 suku pertama 

        dari deret aritmatika di atas !

5. Jika deret aritmatika adalah penjumlahan yang 

        dilakukan terhadap suku-suku barisan aritmatika, 

        maka deret geometri adalah penjumlahan yang 

        dilakukan terhadap suku-suku dalam 

        barisan geometri.

        Suatu deret geometri mempunyai suku kedua sama 

        dengan 12 dan suku keempat sama dengan 48. 

        Jika rasionya positif, tentukan jumlah 10 suku 

        pertama dari deret tersebut !

6. Diberikan sebuah deret geometri tak hingga 

        sebagai berikut.

        162  +  54  +  18  +  6 +  …

        Tentukan jumlah tak hingga suku dari deret 

        geometri di atas !

7. Suatu bahan radioaktif yang semula 

        berukuran 150 gram mengalami reaksi kimia 

        sehingga menyusut 15% dari ukuran 

        sebelumnya setiap 12 jam. Tentukan ukuran 

        bahan radioaktif tersebut setelah 4 hari !

8. Alva menabung di bank sebesar 

        Rp 10.000.000,00 dengan bunga majemuk 

       4% per tahun. Tabungan tersebut tidak 

       pernah diambil. Tentukan besar tabungan 

       Alva setelah 5 tahun !

Silahkan kalian bisa mengerjakan soal-soal tersebut. Apabila kalian masih belum memahami konsep tersebut, kalian bisa bertanya kepada guru kalian terkait konsepnya yang selanjutnya diteruskan dengan menyelesaikan soal-soal ini kembali.

Demikian beberapa soal yang bisa kalian kerjakan untuk menambah pengetahuan kalian dan memperdalam pemahaman kalian terkait materi barisan dan deret, khususnya pada materi barisan dan deret aritmatika dan geometri.

Semoga materi ini bisa bermanfaat untuk banyak orang, khususnya peserta didik di kelas 10 ataupun kelas 11.

Mari Melatih Kemampuan Berpikir Kreatif dengan Meneruskan Kalimat Positif

MARI MELATIH KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF DENGAN MENERUSKAN KALIMAT POSITIF 

Bermain Meneruskan Kalimat Positif

Hai Maths,

Tentunya kita sering mendengar bahwa sebagai seorang siswa, kita harus memiliki kemampuan berpikir kreatif. Kemampuan ini dianggap sangat penting dan sangat perlu dimiliki oleh siswa. Hal ini terlihat jelas dari pembelajaran yang dilakukan oleh Bapak dan Ibu guru yang mana salah satu tujuan dari pembelajaran itu adalah untuk membentuk kemampuan berpikir kreatif pada diri setiap siswa.

Lalu, sudah tahukah kalian apa itu kemampuan berpikir kreatif itu? Mengapa kemampuan ini begitu penting bagi siswa dan bagaimana cara untuk melatihnya?

Nah, untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, mari kita pelajari dan diskusikan bersama hal tersebut.

Kemampuan berpikir kreatif dapat didefinisikan sebagai kemampuan dalam menghasilkan ide-ide atau cara-cara baru dalam menghasilkan suatu produk tertentu. Kemampuan yang seperti ini tentunya merupakan suatu hal yang sangat penting bagi setiap orang, khususnya siswa. Mengapa demikian? Hal ini dikarenakan kemampuan ini dapat menjadikan siswa lebih kreatif dalam menghadirkan berbagai solusi ketika dihadapkan dengan berbagai permasalahan yang diberikan oleh guru. Dengan kemampuan berpikir kreatif, siswa mampu menghadirkan ide-ide dan cara-cara baru dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang diberikan oleh guru.

Selanjutnya, dengan adanya pernyataan tersebut maka muncul suatu pertanyaan, yaitu: bagaimana cara untuk memunculkan kemampuan berpikir kreatif tersebut?

Kemampuan berpikir kreatif tentunya bukan merupakan suatu hal yang muncul secara tiba-tiba. Kemampuan ini bisa muncul dikarenakan adanya pelatihan yang dilakukan secara terus menerus. Nah, salah satu cara sederhana yang bisa kita gunakan untuk melatih kemampuan berpikir kreatif kita adalah melalui kegiatan meneruskan kalimat positif seperti yang akan kalian lakukan ini.

Lalu, bagaimana cara kita melakukan kegiatan tersebut? Kegiatan meneruskan kalimat positif dalam dilakukan dengan aturan sebagai berikut:

Yang pertama, pilih salah seorang siswa atau guru sendiri yang mengawali kegiatan ini dengan menuliskan atau mengucapkan sebuah kalimat tertentu.

Sebagai contoh:

“Saya sedang ada di sekolah.”

Selanjutnya yang kedua, bagi siswa yang sudah membaca atau mendengar kalimat yang disampaikan oleh siswa atau guru melanjutkan apa yang sudah disampaikan dengan kalimat positif lainnya.

Dalam penyusunan kalimat positif selanjutnya tersebut, siswa menggunakan kata terakhir dari apa yang disampaikan oleh orang pertama.

Adapun contohnya adalah:

“Sekolah saya memiliki 29 kelas.”

Kemudian yang ketiga, siswa yang membaca atau mendengar kalimat yang disampaikan oleh siswa kedua melanjutkan kembali dengan menggunakan kalimat positif lainnya dengan aturan yang sama seperti siswa kedua.

Contohnya adalah:

“Kelas saya selalu dalam keadaan bersih.”

Selanjutnya yang keempat, kegiatan tersebut dilakukan secara terus menerus oleh siswa-siswa yang lain sampai dengan semua siswa melakukannya atau sampai dengan batas waktu yang sudah ditentukan.

Dalam melaksanakan kegiatan tersebut, wajib bagi kita untuk menggunakan kalimat-kalimat yang bersifat positif dan tidak mengandung unsur negatif.

Kemudian yang terakhir, jika semua siswa sudah menuliskan dan menyampaikan kalimatnya masing-masing atau waktu yang disediakan sudah selesai, maka setiap siswa wajib menuliskan semua kalimat yang ada sehingga terbentuk suatu paragraf yang memuat banyak kalimat.

Menurut kalian, bagaimana isi paragraf yang terbentuk? Menarikkah untuk dibaca? Dapatkah paragraf tersebut menjadi motivasi bagi kalian untuk melaksakan kegiatan pembelajaran?

Itulah serangkaian kegiatan yang bisa kita lakukan untuk melatih kemampuan berpikir kreatif kita. Kegiatan itu sendiri bisa dilakukan dalam kondisi daring atau luring sehingga kita tidak memiliki hambatan untuk melakukannya.

Demikian penjelasan yang bisa disampaikan terkait salah satu aktivitas sederhana yang bisa kita lakukan untuk melatih kemampuan berpikir kreatif kita. Semoga aktivitas ini bisa menjadi referensi bagi semua.

Menyusun Model Matematika dari Masalah Sistem Persamaan Linier

MENYUSUN MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH
SISTEM PERSAMAAN LINIER 

Model Matematika dari Masalah Sistem Persamaan Linier

Setelah kita mempelajari materi sistem persamaan linier, tentunya akan muncul pertanyaan baru yaitu Apa kegunaan sistem persamaan linier ini dalam kehidupan sehari-hari? Adakah permasalahan dalam kehidupan sehari hari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep sistem persamaan linier ini?

Sebenarnya ada banyak sekali penerapan sistem persamaan linier dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya adalah dalam penentuan umur, penentuan banyak barang, ataupun penentuan harga barang.

Nah sebelum kita mempelajari hal tersebut, ada satu sub materi yang terlebih dahulu kita pelajari dan kita pahami agar kita mampu menyelesaikan berbagai permasalahan yang berkaitan dengan sistem persamaan linier tersebut yaitu menyusun model matematika dari masalah sistem persamaan linier. Untuk lebih jelasnya, silahkan kalian pelajari beberapa contoh soal di bawah ini dengan baik dan cermat.

Contoh Soal 1

Diketahui jumlah tiga bilangan sama dengan 90. Bilangan pertama ditambah 3 sama dengan bilangan kedua dan bilangan ketiga dikurangi 6 sama dengan bilangan pertama. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut !

Penyelesaian:

Misalkan  :     x  =   bilangan pertama

                      y  =   bilangan kedua

                      z  =   bilangan ketiga

maka:

x  +  y  +  z      =   90 …………. (1)

x  +  3              =   y   \(\leftrightarrow\)  x  -  y  =   -3 ………. (2)

z  -  6               =   x   \(\leftrightarrow\)  x  -  z  =   -6 ………..(3)

Dari ketiga persamaan tersebut didapati model matematika dalam bentuk sistem persamaan linier sebagai berikut:

\(\left\{\begin{matrix} x + y + z = 90 \\ x - y = -3 \\ x - z = -6 \end{matrix}\right. \)

Contoh Soal 2

Di sebuah toko alat tulis, Adi membeli 4 buku, 2 pulpen, dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Bima membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga Rp 21.500,00. Citra membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp 12.500,00. Berdasarkan penjelasan di atas, buatlah model matematikanya !

Penyelesaian:

Misalkan  :     x  =   harga buku

                      y  =   harga pulpen

                      z  =   harga pensil

maka:

4x  +  2y  +  3z           =   26.000 …………. (1)

3x  +  3y  +  1z           =   21.500 …………. (2)

3x  +  z                       =   12.500 …………. (3)

Dari ketiga persamaan tersebut didapati model matematika dalam bentuk sistem persamaan linier sebagai berikut:

\(\left\{\begin{matrix} 4x + 2y + 3z = 26.000 \\ 3x + 3y + z = 21.000 \\ 3x + z = 12.500 \end{matrix}\right. \)

Berdasarkan contoh-contoh soal yang sudah diberikan, tentunya kalian sudah mampu memahami bagaimana cara menentukan model matematika dari suatu masalah sistem persamaan linier bukan?

Demikian penjelasan terkait materi menyusun model matematika dari masalah sistem persamaan linier. Semoga bermanfaat untuk semua.

Mari Menerapkan Konsep Barisan dan Deret

MARI MENERAPKAN KONSEP BARISAN DAN DERET 

Penerapan Barisan dan Deret

Setelah kita mempelajari materi barisan dan deret, tentunya akan muncul pertanyaan baru yaitu bagaimana penerapan konsep barisan dan deret ini dalam kehidupan sehari-hari. Permasalahan apa saja yang bisa diselesaikan dengan menggunakan konsep ini. Nah, untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari kita pelajari bersama materi terkait aplikasi barisan dan deret di bawah ini.

Pertumbuhan

Salah satu penerapan dari konsep barisan dan deret adalah dalam hal pertumbuhan. Pada materi kali ini, kita akan membahas dua jenis pertumbuhan yang berkaitan dengan konsep ini, yaitu pertumbuhan penduduk dan pertumbuhan ganda.

Pertumbuhan Penduduk

Rumus Pertumbuhan Penduduk

dimana:

\(M_{t}\)      =  jumlah penduduk akhir

\(M_{0}\)     =  jumlah penduduk awal

t          =  jangka waktu

i          =  tingkat laju pertumbuhan

 

Pertumbuhan Ganda

Rumus Pertumbuhan Ganda

dimana:

\(M_{t}\)      =  jumlah akhir populasi

\(M_{0}\)     =  jumlah awal populasi

t          =  jangka waktu

Untuk mempermudah dalam memahami rumus di atas, silahkan kalian coba pahami contoh soal di bawah ini.

Contoh 1

Diketahui jumlah penduduk di suatu daerah pada tahun 2021 berjumlah 3 juta jiwa dengan tingkat pertumbuhan 1% per tahun. Tentukan jumlah penduduk daerah tersebut pada akhir tahun 2025 !

Penyelesaian:

\(M_{0}\) = 3.000.000, i = 1% = 0,01, t = 4

Dengan informasi tersebut, maka dapat ditentukan jumlah penduduk daerah yang dimaksud pada akhir tahun 2025 melalui perhitungan sebagai berikut:

\(M_{0}\)       =   \(M_{0}(1 + i)^t\)

             =    3.000.000 . \((1 + 0,01)^4\)

             =    3.000.000 . \((1,01)^4\)

             =    3.000.000 . (1,040604)

\(M_{t}\)       =   3.121.812

Jadi, jumlah penduduk pada akhir tahun 2025 adalah 3.121.812 jiwa.

 

Peluruhan

Penerapan konsep barisan dan deret yang selanjutnya dalah terkait dengan peluruhan. Adapun rumus yang dapat digunakan adalah sebagai berikut.

Rumus Peluruhan

dimana:

\(M_{t}\)       =   jumlah akhir

\(M_{0}\)      =   jumlah awal

t           =  jangka waktu

p          =  tingkat peluruhan

Adapun contoh soal yang bisa kalian pelajari untuk memahami rumus peluruhan di atas adalah sebagai berikut.

Contoh 2

Suatu neutron dapat pecah menjadi suatu proton dan elektron jika terdapat 1.000.000 neutron. Pada akhir satu menit neutron akan berubah sebanyak 4%. Tentukan banyaknya neutron yang masih ada setelah 5 menit !

Penyelesaian:

\(M_{0}\) = 1.000.000, p = 4% = 0,04, t = 5

Dengan informasi tersebut, maka dapat ditentukan neutron yang masih ada setelah 5 menit melalui perhitungan sebagai berikut:

\(M_{t}\)     =   \(M_{0}(1 – p)^{t}\)

          =    1.000.000 . \( (1 – 0,04)^{5} \)

          =    1.000.000 . \( (0,96)^{5} \)

          =    1.000.000 . (0,815373)

\(M_{t}\)    =     815.373

Jadi, neutron yang masih ada setelah 5 menit adalah 815.373.

 

Bunga Majemuk

Selain pertumbuhan dan peluruhan, penerapan konsep barisan dan deret yang lainnya adalah bunga majemuk. Adapun rumus yang dapat digunakan antara lain sebagai berikut.

Rumus Bunga Majemuk

dimana:

\(M_{n}\)   =   nilai akhir

\(M \)    =  modal awal

i        =  suku bunga majemuk

n       =  jumlah frekuensi konversi

Berikut adalah contoh soal yang bisa kalian pelajari untuk memahami rumus bunga majemuk adalah sebagai berikut.

Contoh 3

Alva menabung uang di bank sebesar Rp 2.000.000,00 dengan suku bunga 10% per tahun. Apabila uang tersebut tidak pernah diambil, tentukan besar tabungan Alva setelah 5 tahun !

Penyelesaian:

Modal  =  \( M\) = 2.000.000

Suku bunga  =  i  = 10% = 0,1

Lama pembungaan  =  n  = 5 

Dari informasi tersebut, maka dapat ditentukan besar tabungan Alva setelah 5 tahun melalui perhitungan sebagai berikut:

\(M_{n}\)    =   \(M (1 + i)^{n}\)

          =    2.000.000 . \((1 + 0,1)^{5}\)

          =    2.000.000 . \((1,1)^{5}\)

          =    2.000.000 . (1,61051)

\(M_{n}\)    =     3.221.020

Jadi, besar tabungan Alva setelah 5 tahun adalah 3.221.020.

 

Anuitas

Contoh penerapan barisan dan deret yang akan disampaikan pada pembahasan ini adalah tentang anuitas. Adapun rumus yang digunakan dalam penerapan ini adalah sebagai berikut.

Rumus Anuitas

dimana:

\(A\)   =  besarnya anuitas

\(M\)  =  besar pinjaman

i      =  suku bunga

n     =  banyaknya angsuran

 

Agar kalian lebih mudah dalam memahami rumus di atas, berikut disampaikan contoh soal yang bisa kalian pelajari terkait rumus anuitas.

Contoh 4

Suatu pinjaman sebesar Rp 1.000.000,00 dilunasi dalam 5 tahun dengan anuitas pertama dibayar setelah satu tahun dengan bunga 4% per tahun. Tentukan besarnya anuitas dari permasalahan tersebut !

Penyelesaian:

Besar pinjaman  =  \(M\) = 1.000.000

Suku bunga  =  i  = 4% = 0,04

Banyak angsuran  =  n  = 5 

Dari informasi tersebut, maka dapat ditentukan besarnya anuitas melalui perhitungan sebagai berikut:

\(A\)    =    \(M \times \frac{i}{1 – (1 + i)^{-n}} \)

       =    \(1.000.000 \times \frac{0,04}{1 – (1 + 0,04)^{-5}} \)

       =    \(1.000.000 \times \frac{0,04}{1 – (1,04)^{-5}} \)

       =    \(1.000.000 \times \frac{0,04}{1 – (0,821927)} \)

       =    \(1.000.000 \times \frac{0,04}{0,178073}\)

       =    \(1.000.000 \times 0,22462698\)

\(A\)    =    224.626,98

Jadi, besar anuitasnya adalah 224.626,98.

Berdasarkan pembahasan materi dan contoh-contoh soal yang sudah diberikan, tentunya kalian sudah mampu memahami materi penerapan barisan dan deret ini bukan?

Demikian penjelasan terkait materi mari menerapkan konsep barisan dan deret. Semoga bermanfaat untuk semua.

Deret Geometri Tak Hingga Beserta Contoh Soalnya

DERET GEOMETRI TAK HINGGA BESERTA CONTOH SOALNYA 

Deret Geometri Tak Hingga

Pernahkah kalian mendengar kata tak hingga? Apa yang ada dalam pikiran kalian ketika mendengar kata tersebut? Jika kalian menjawab “Tak Terbatas”, maka jawaban kalian tepat sekali.

Perhatikan contoh deret geometri di bawah ini.

1)    1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

2)    2 + 6 + 18 + 54 + 162 + …

3)    \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... \)

4)    \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + ... \)

Deret-deret geometri di atas adalah contoh deret geometri tak hingga. Lalu, tahukah kalian apa itu deret geometri tak hingga? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, mari kita pelajari bersama materi di bawah ini.

Pengertian Deret Geometri Tak Hingga

Secara definisi, deret geometri tak hingga dapat diartikan sebagai berikut.

Pengertian Deret Geometri Tak Hingga

Pada contoh di atas, deret geometri tak hingga yang ditunjukkan dengan nomor 1) dan 2), yaitu:

1)    1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

2)    2 + 6 + 18 + 54 + 162 + …

merupakan contoh deret geometri tak hingga divergen.

Deret geometri tak hingga divergen adalah deret geometri dimana nilai bilangannya semakin membesar dan tidak dapat ditentukan jumlahnya. Mengapa demikian? Hal ini dikarenakan pada deret geometri tak hingga divergen, nilainya semakin membesar dan tidak terbatas. Adapun rasio dari deret geometri tak hingga divergen adalah r dengan \( \left | r \right | > 1 \).

Selanjutnya, untuk contoh deret geometri tak hingga yang ditunjukkan dengan nomor 3) dan 4), yaitu:

1)     \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... \)

2)    \( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18} + \frac{1}{54} + ... \)

 merupakan contoh deret geometri tak hingga konvergen.

Deret geometri tak hingga konvergen merupakan kebalikan dari deret geometri tak hingga divergen yaitu deret geometri dimana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat ditentukan jumlahnya. Adapun rasio dari deret geometri tak hingga konvergen adalah r dengan \( \left | r \right | < 1 \).

Menentukan Jumlah Tak Hingga Suku dari Deret Geometri Tak Hingga

Seperti kita ketahui bahwa deret geometri yang dapat ditentukan jumlah tak hingga sukunya adalah deret geometri tak hingga konvergen.

Misalkan dipunyai deret geometri tak hingga yang dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut.

\({U}_{1} + {U}_{2} + {U}_{3} + {U}_{4} +{U}_{5} + {U}_{6} + ... \)

Untuk menentukan jumlah tak hingga suku dari deret geometri tak hingga di atas dapat digunakan rumus sebagai berikut.

Rumus Jumlah Tak Hingga Deret Geometri

Untuk memahami rumus di atas, silahkan kalian pelajari contoh-contoh soal di bawah ini.

Contoh 1

Diberikan deret geometri sebagai berikut.

\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... \)

Tentukan jumlah tak hingga suku dari deret geometri tak hingga di atas!

Penyelesaian:

\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ... \)

Dari deret tersebut, didapati:

a    =  1

r     =  \(\frac{U_{2}}{U_{1}}\)

      =  \(\frac{\frac{1}{2}}{1}\)

r     =  \(\frac{1}{2}\)

Karena didapati nilai rasio ( r ) = \(\frac{1}{2} < 1 \), jelas bahwa deret di atas adalah deret geometri tak hingga konvergen sehingga untuk menentukan jumlah tak hingga suku dapat digunakan rumus sebagai berikut.

\(S_{\infty}\)    =   \(\frac{a}{1 – r}\)

\(S_{\infty}\)    =   \(\frac{1}{1 – \frac{1}{2}}\)

          =   \(\frac{1}{\frac{1}{2}}\)

            =   2

\(S_{\infty}\)    =   2

Jadi, jumlah tak hingga suku dari deret geometri tak hingga di atas adalah 2.

 

Contoh 2

Diberikan deret geometri tak hingga dengan suku kedua 48 dan suku kelima 6. Tentukan suku pertama, rasio, dan jumlah tak hingga suku dari deret tersebut!

Penyelesaian:

\(U_{2}\)    =   48  \(\leftrightarrow \)  \(ar\)  =  48  \(\leftrightarrow \)  \(a\)  =  \(\frac{48}{r}\) …………… (1)

\(U_{5}\)     =   6  \(\leftrightarrow \)  \(ar^{4}\)  =  6  \(\leftrightarrow \)  \(a\)  =  \(\frac{6}{r^{4}}\) …………… (2)

Dari persamaan (1) dan (2), didapati bahwa:

\(\frac{48}{r}\)  =   \(\frac{6}{r^{4}}\)

\(\leftrightarrow \)  \(\frac{r^{4}}{r} \)     =   \(\frac{6}{48}\)

\(\leftrightarrow \)  \(r^{3}\)     =   \(\frac{1}{8}\)

\(\leftrightarrow \)  \(r\)      =   \(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\)

\(\leftrightarrow \)  \(r\)      =   \(\frac{1}{2}\)

Jadi rasio dari deret di atas adalah \(\frac{1}{2}\)

Selanjutnya, untuk menentukan suku pertama (a) dari deret geometri tersebut, maka substitusikan nilai r = \(\frac{1}{2}\) ke persamaan (1) atau (2).

Misalkan nilai r = \(\frac{1}{2}\) disubstitusikan ke persamaan (1) dengan perhitungan sebagai berikut.

r   =   \(\frac{1}{2}\)  \(\rightarrow \)    a   =   \(\frac{48}{r}\)

                     a   =   \(\frac{48}{\frac{1}{2}}\)

                     a   =   96

Jadi, suku pertama ( a ) dari deret di atas adalah 96.

Untuk yang selanjutnya, menentukan jumlah tak hingga (\(S_{\infty}\)) suku dari deret geometri tak hingga di atas.

Jelas bahwa deret di atas adalah deret geometri tak hingga konvergen karena diketahui nilai rasio ( r ) = \(\frac{1}{2} < 1\), sehingga untuk menentukan jumlah tak hingga suku dapat digunakan rumus sebagai berikut.

\(S_{\infty}\)    =   \(\frac{a}{1 – r}\)

\(S_{\infty}\)    =   \(\frac{96}{1 – \frac{1}{2}}\)

          =   \(\frac{96}{\frac{1}{2}}\)

          =   192

\(S_{\infty}\)    =   192

Jadi, jumlah tak hingga suku dari deret geometri tak hingga di atas adalah 192.

Berdasarkan pembahasan dan dua contoh soal di atas, tentunya kalian sudah mampu memahami materi tentang deret geometri tak hingga ini bukan?

Demikian penjelasan terkait materi deret geometri tak hingga beserta contoh soalnya. Semoga bermanfaat untuk semua.