Penilaian Harian Materi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

PENILAIAN HARIAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

Penilaian Harian Materi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Penilaian Harian - Laman ini berisikan penilaian harian untuk materi fungsi komposisi dan fungsi invers. Penilaian ini memuat lima butir soal terkait dengan materi tersebut. Berikut lima butir soal yang harus kalian kerjakan.

Soal 1:

Diketahui fungsi f dan fungsi g ditentukan oleh f(x) = 5x² – 2 dan g(x) = 2x – 5. Tentukan fungsi komposisi dari ( g o f )(x) !

Soal 2:

Diketahui fungsi f : R \(\rightarrow\) R dan g : R \(\rightarrow\) R dengan g(x) = x – 3 dan fungsi komposisi ( g o f )(x) = x² – 5x  + 10. Tentukan rumus fungsi f(x) !

Soal 3:

Diketahui fungsi f : R \(\rightarrow\) R dan g : R \(\rightarrow\) R dengan g(x) = 4x + 1 dan fungsi komposisi ( f o g )(x) = 12x + 1. Tentukan rumus fungsi f(x) !

Soal 4:

Diketahui fungsi f : R \(\rightarrow\) R dengan f(x) =  \(\frac{5x - 2}{4x - 7}\) . Tentukan fungsi inversnya!

Soal 5:

Diketahui fungsi f dan fungsi g ditentukan oleh f(x) = 3x – 2 dan g(x) = \(\frac{x - 5}{6}\) . Tentukan invers dari fungsi komposisi dari ( f o g )^-1(x) !

Demikian soal untuk penilaian harian matematika. Silahkan kalian kerjakan soal tersebut sesuai dengan waktu yang telah ditentukan.

Rumus Cepat Untuk Menentukan Fungsi Invers Berikut Contoh Soalnya

RUMUS CEPAT UNTUK MENENTUKAN FUNGSI INVERS BERIKUT CONTOH SOALNYA 

Rumus Cepat Fungsi Invers

Masih ingatkah kalian apa itu fungsi invers. Fungsi invers adalah sebuah fungsi yang berkebalikan dengan fungsi asalnya. Misalkan kita memiliki fungsi f(x). Fungsi invers dari fungsi f(x) adalah f ^-1(x). Untuk menentukan f ^-1(x), langkah-langkah yang harus dilakukan antara lain sebagai berikut.

1.      Memisalkan fungsi f(x) = y;

2.      Melakukan pengoperasian sehingga didapati persamaan x = f(y);

3.      Mengubah x menjadi f ^-1(y);

4.      Mengubah y menjadi x sehingga didapati f ^-1(x).

Untuk mengingatkan kembali kalian dengan langkah-langkah tersebut, kalian bisa membuka kembali materi Pengertian dan Cara Untuk Menentukan Fungsi Invers.

Selain menggunakan langkah di atas, ada cara lain yang dapat kita gunakan untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi tertentu. Cara tersebut adalah dengan menggunakan rumus fungsi invers. Berikut akan disajikan beberapa rumus cepat untuk menentukan fungsi invers dari berbagai bentuk fungsi.

Tabel Rumus Fungsi Invers

Untuk mempermudah dalam mempelajari rumus tersebut, silahkan kalian coba pahami contoh soal di bawah ini.

Contoh 1:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = 3x + 5. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = 3x + 5; a = 3, b = 5

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

Menggunakan rumus cepat:

f ^-1 (x)     =  (x – b)/a ......  tuliskan rumus

               =  (x – 5)/3..... ganti a dan b

Pembuktian dengan cara biasa:

f(x)         =  y ................  menuliskan f(x) = y

3x + 5     =  y ................  mengganti f(x) dengan 3x + 5

3x           =  y – 5 ..........  memindahkan +5 ke ruas kanan menjadi -5

x             =  (y – 5)/3 ....  memindahkan 3 ke ruas kanan menjadi bagi 3

f ^-1(y)      =  (y – 5)/3 ....  mengubah x menjadi f ^-1(y)

f ^-1(x)      =  (x – 5)/3 ....  mengubah y menjadi x

Dari perhitungan di atas, didapati fungsi invers dari f(x) = 3x + 5 adalah f ^-1 (x) = (x – 5)/3.

Contoh 2:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = (2x - 3)/(5x + 4). Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = (2x - 3)/(5x + 4) ; a = 2, b = -3, c = 5, d = 4

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

Menggunakan rumus cepat:

f ^-1 (x)     =  (-dx + b)/(cx – a) .......  menuliskan rumus

               =  (-4x + (-3))/(5x – 2) ...  mengganti setiap variabel

               =  (-4x – 3)/(5x – 2) .......  mengoperasikan pembilang menjadi -

               =  [-(4x + 3)]/[-(-5x + 2)] … menggunakan sifat distributif

               =  (4x + 3)/(-5x + 2) … membagi negatif di depan

               =  (4x + 3)/(2 – 5x) … balik penyebut dengan sifat komutatif

Pembuktian dengan cara biasa:

f(x)         =  y ................  menuliskan f(x) = y

(2x - 3)/(5x + 4)   =  y  mengubah fungsi f(x)

2x – 3     =  y(5x + 4) ...  melakukan perkalian silang

2x – 3     =  5xy + 4y ....  mengalikan y dengan di dalam kurung

2x – 5xy =  4y + 3......... memindahkan suku bervariabel x ke kiri

x(2 – 5y) =  4y + 3 ........  mengeluarkan x dengan sifat distributif

x             =  (4y + 3)/(2 – 5y)    memindahkan (2-5y) ke ruas kanan

f ^-1(y)      =  (4y + 3)/(2 – 5y)   mengubah x menjadi f ^-1(y)

f ^-1(x)      =  (4x + 3)/(2 – 5x)   mengubah y menjadi x.

Dari perhitungan di atas, didapati fungsi invers dari f(x) = (2x – 3)/(5x+4) adalah f ^-1(x) = (4x + 3)/(2 – 5x).

Contoh 3:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = x² – 8x + 12. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = x² – 8x + 12 ; a = 1, b = -8, c = 12

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

Menggunakan rumus cepat:

f ^-1 (x)     =  [-b ± √(b² – 4a(c – x))]/2a .......  menuliskan rumus yang sesuai

               =  [-(-8) ± √((-8)² – 4(1)(12 – x))]/2(1)... memasukkan nilai

               =  [8 ± √(64 – 4(12 – x))]/2 ........  mengoperasikan bilangan

               =  [8 ± √(64 – 48 + 4x)]/2 ...........  mengalikan yang di dalam kurung

               =  [8 ± √(16 + 4x)]/2 ...................  sederhanakan yang di akar

               =  [8 ± √(4(4 + 4x))]/2 ................  menggunakan sifat distributif

               =  [8 ± 2√(4 + 4x)]/2 ...................  menyederhanakan 4 dalam akar

               =  2[4 ± √(4 + 4x)]/2 ...................  menggunakan sifat distributif

               =  4 ± √(4 + 4x) ..........................  bagi 2 pembilang dan penyebut

               =  4 ± √(4x + 4) ..........................  menggunakan sifat komutatif

Pembuktian dengan cara biasa:

f(x)                  =  y ..  menuliskan f(x) = y

x² – 8x + 12     =  y ..  mengubah fungsi f(x) dengan x² – 8x + 12

x² – 8x             =  y – 12 .. memindahkan +12 ke kanan

x² – 8x + 16     =  y – 12 + 16 … masing-masing ruas ditambah (-8/2)²

(x – 4)²               =  y + 4 .....  sederhanakan masing-masing ruas

x – 4                 =  ±√(y + 4) ....  pindah ruas kuadrat menjadi akar

x                       =  4 ± √(y + 4) … pindah ruas -4 ke ruas kanan

f ^-1(y)               =  4 ± √(y + 4) ....  mengubah x menjadi f ^-1(y)

f ^-1(x)               =  4 ± √(x + 4)......  mengubah y menjadi x

Dari perhitungan di atas, didapati fungsi invers dari f(x) = x² – 8x + 12 adalah f ^-1(x) = 4 ± √(x + 4)

Contoh 4:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = √(2x + 5). Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = √(2x + 5) ; a = 2, b = 5, n = 2

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

Menggunakan rumus cepat:

f ^-1 (x)     =  (xⁿ – b)/a .....................  menuliskan rumus invers

               =  (x² – 5)/2 .....................  memasukkan nilai ke rumus

Pembuktian dengan cara biasa:

f(x)                  =  y ..  menuliskan f(x) = y

√(2x + 5)         =  y ..  mengubah fungsi f(x)

2x + 5              =  y² .  memindahkan akar ke ruas kanan

2x                    =  y² – 5 ....  memindahkan +5 ke ruas kanan

x                      =  (y² – 5)/2 .....  memindahkan 2 ke ruas kanan

f ^-1 (y)              =  (y² – 5)/2....... mengubah x menjadi f ^-1 (y)

f ^-1 (x)              =  (x² – 5)/2 ......  mengubah f ^-1 (y) menjadi f ^-1 (x)

Dari perhitungan di atas, didapati fungsi invers dari f(x) =  √(2x + 5) adalah f ^-1(x) = (x² – 5)/2.

Contoh 5:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = ²log 5x. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = ²log 5x ; a = 2, c = 5

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

Menggunakan rumus cepat:

f ^-1 (x)     =  a^x/c ......  menuliskan rumus invers

               =  2^x/5 ......  memasukkan nilai ke rumus

Pembuktian dengan cara biasa:

f(x)                    =  y ..........  menuliskan f(x) = y

²log 5x              =  y ..........  mengubah fungsi f(x)

(log 5x)/(log 2) =  y ..........  mengubah ²log 5x menjadi (log 5x)/(log 2)

log 5x               =  y(log 2) ....  melakukan perkalian silang

log 5x               =  log 2^y........ mengubah y(log 2) menjadi log 2^y

5x                     =  2^y .............  karena basis sama, maka dalamnya sama

x                       =  2^y/5 ..........  memindahkan 5 ke ruas kanan

f ^-1 (y)              =  2^y/5 ..........  mengubah x menjadi f ^-1 (y)

f ^-1 (x)              =  2^x/5 ..........  mengubah f ^-1 (y) menjadi f ^-1 (x)

Dari perhitungan di atas, didapati fungsi invers dari f(x) = ²log 5x adalah f ^-1(x) = 2^x/5.

Contoh 6:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = 2^3x. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = 2^3x; a = 2, c = 3

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

Menggunakan rumus cepat:

f ^-1 (x)     =  (1/c) ^alog x ..........  menuliskan rumus invers

                =  (1/3) ²log x .........  memasukkan nilai ke rumus

Pembuktian dengan cara biasa:

f(x)                  =  y ..........  menuliskan f(x) = y

2^3x                   =  y ..........  mengubah f(x) dengan 2^3x

log 2^3x            =  log y .... mengubah menjadi log pada tiap ruas

(3x)log 2         =  log y ....  mengubah log 2^3x sesuai sifat

3x                    =  (log y)/( log 2) ..  memindah ruas log 2

3x                    =  ²log y.... mengubah (log y)/( log 2)

x                      =  (1/3) ²log y ... memindah 3 ke ruas kanan

f ^-1 (y)             =  (1/3) ²log y ...  mengubah x menjadi f ^-1 (y)

f ^-1 (x)             =  (1/3) ²log x ...  mengubah f ^-1 (y) menjadi f ^-1 (x)

Dari perhitungan di atas, didapati fungsi invers dari f(x) = 2^3x adalah f ^-1(x) = (1/3) ²log x.

Demikian penjelasan terkait rumus cepat untuk menentukan fungsi invers berikut contoh soalnya. Perlu dipahami bahwa penggunaan rumus cepat ini adalah sebagai alat bantu yang mempermudah kita dalam menentukan fungsi invers dari suatu fungsi. Namun yang paling utama adalah kita harus memahami terlebih dahulu konsep dasar tentang apa itu invers dan bagaimana cara untuk menentukan fungsi invers itu sendiri.

Pengertian dan Cara Untuk Menentukan Fungsi Invers

PENGERTIAN DAN CARA UNTUK MENENTUKAN FUNGSI INVERS 

Fungsi Invers dalam Bentuk Diagram Panah

Dalam Bahasa Indonesia, tentu kita tidak asing dengan istilah antonim. Antonim merupakan bentuk kata yang memiliki makna yang berkebalikan dalam bentuk kata lain. Misalnya panas dan dingin, gelap dan terang, baik dan jahat, dsb. Selain dalam Bahasa Indonesia, ternyata istilah antonim atau kebalikan tersebut juga dimiliki oleh ilmu matematika. Dalam matematika, istilah antonim atau kebalikan tersebut biasa disebut dengan istilah fungsi invers. Nah, tahukah kalian apa itu fungsi invers dan bagaimana cara untuk menentukan fungsi tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pahamilah materi ini dengan baik.

Pengertian Fungsi Invers

Fungsi invers atau fungsi kebalikan adalah sebuah fungsi yang berkebalikan dengan fungsi asalnya.

Untuk memahami pengertian tersebut, cermatilah gambar di bawah ini.

Fungsi Invers dalam Bentuk Diagram Panah

Dari gambar di atas didapati bahwa terdapat fungsi f yang memetakan x ke y. y sendiri disebut dengan f(x) karena y merupakan hasil pemetaan fungsi f terhadap x. Fungsi f merupakan fungsi asal. Selanjutnya, fungsi y tersebut dipetakan oleh fungsi g ke x. Karena x adalah hasil pemetaan fungsi g terhadap y, maka x = g(y). Nah, fungsi g inilah yang dinamakan sebagai fungsi invers karena fungsi tersebut merupakan fungsi yang berkebalikan dengan fungsi asal yaitu fungsi f dimana fungsi g ini memetakan kembali y ke x yang selanjutnya hasil pemetaannya dinamakan dengan g(y). Fungsi invers dinyatakan dengan cara menuliskan fungsi asal dan diberi pangkat negatif satu. Dengan demikian fungsi g(y) dapat dinyatakan dengan g(y) = f ^-1.

Cara Menentukan Fungsi Invers

Sebuah fungsi dikatakan memiliki fungsi invers jika fungsi tersebut adalah fungsi bijektif. Mengapa demikian? Hal ini dikarenakan pada fungsi bijektif tidak ada anggota kodomain yang tidak memiliki pasangan dan banyak pasangannya adalah satu. Dengan demikian ketika dilakukan relasi kebalikannya, maka akan tetap terbentuk suatu fungsi. Fungsi inilah yang dinamakan dengan fungsi invers.

Misalkan dipunyai fungsi f : A ⟶ B dimana fungsi f adalah fungsi bijektif. Fungsi invers dari fungsi f adalah suatu fungsi yang memasangkan setiap anggota B dengan tepat satu anggota di A. Fungsi invers dari fungsi f dapat dinyatakan dengan f ^-1. Adapun langkah-langkah untuk menentukan fungsi invers tersebut antara lain:

1.      Memisalkan fungsi f(x) = y;

2.      Melakukan pengoperasian sehingga didapati persamaan x = f(y);

3.      Mengubah x menjadi f ^-1(y);

4.      Mengubah y menjadi x sehingga didapati f ^-1(x).

Untuk memahami langkah-langkah tersebut, cermatilah contoh soal di bawah ini dengan baik.

Contoh 1:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = 3x + 5. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = 3x + 5

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

f(x)         =  y

3x + 5     =  y

3x           =  y – 5

x             =  \(\frac{y - 5}{3}\)

f ^-1(y)      =  \(\frac{y - 5}{3}\)

f ^-1(x)      =  \(\frac{x - 5}{3}\)

Contoh 2:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = \(\frac{2x – 3}{5x + 4}\). Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = \(\frac{2x - 3}{5x + 4}\)

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

f(x)         =  y

\(\frac{2x - 3}{5x + 4}\)       =  y

2x – 3     =  y(5x + 4)

2x – 3     =  5xy + 4y

2x – 5xy =  4y + 3

x(2 – 5y) =  4y + 3

x             =  \(\frac{4y + 3}{2 – 5y}\)

f ^-1(y)      =  \(\frac{4y + 3}{2 – 5y}\)

f ^-1(x)      =  \(\frac{4x + 3}{2 – 5x}\)

Contoh 3:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = x² – 8x + 12. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = x² – 8x + 12

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

f(x)                  =  y

x² – 8x + 12     =  y

x² – 8x             =  y – 12

x² – 8x + 16     =  y – 12 + 16

(x – 4)²               =  y + 4

x – 4                 =  ±\(\sqrt{y + 4}\)

x                       =  4 ±\(\sqrt{y + 4}\)

f ^-1(y)               =  4 ± \(\sqrt{y + 4}\)

f ^-1(x)               =  4 ±\(\sqrt{x + 4}\)

Contoh 4:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = x² + 10x + 16. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = x² + 10x + 16

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

f(x)                   =  y

x² + 10x + 16   =  y

x² + 10x           =  y – 16

x² + 10x + 25  =  y – 16 + 25

(x + 5)²              =  y + 9

x + 5                =  ±√(y + 9)

x                      =   -5 ± √(y + 9)

f ^-1(y)              =   -5 ± √(y + 9)

f ^-1(x)              =   -5 ± √(x + 9)

Demikian pembahasan tentang pengertian dan cara untuk menentukan fungsi invers. Semoga bermanfaat untuk semua.