Pengertian dan Cara Untuk Menentukan Fungsi Invers

PENGERTIAN DAN CARA UNTUK MENENTUKAN FUNGSI INVERS 

Fungsi Invers dalam Bentuk Diagram Panah

Dalam Bahasa Indonesia, tentu kita tidak asing dengan istilah antonim. Antonim merupakan bentuk kata yang memiliki makna yang berkebalikan dalam bentuk kata lain. Misalnya panas dan dingin, gelap dan terang, baik dan jahat, dsb. Selain dalam Bahasa Indonesia, ternyata istilah antonim atau kebalikan tersebut juga dimiliki oleh ilmu matematika. Dalam matematika, istilah antonim atau kebalikan tersebut biasa disebut dengan istilah fungsi invers. Nah, tahukah kalian apa itu fungsi invers dan bagaimana cara untuk menentukan fungsi tersebut? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pahamilah materi ini dengan baik.

Pengertian Fungsi Invers

Fungsi invers atau fungsi kebalikan adalah sebuah fungsi yang berkebalikan dengan fungsi asalnya.

Untuk memahami pengertian tersebut, cermatilah gambar di bawah ini.

Fungsi Invers dalam Bentuk Diagram Panah

Dari gambar di atas didapati bahwa terdapat fungsi f yang memetakan x ke y. y sendiri disebut dengan f(x) karena y merupakan hasil pemetaan fungsi f terhadap x. Fungsi f merupakan fungsi asal. Selanjutnya, fungsi y tersebut dipetakan oleh fungsi g ke x. Karena x adalah hasil pemetaan fungsi g terhadap y, maka x = g(y). Nah, fungsi g inilah yang dinamakan sebagai fungsi invers karena fungsi tersebut merupakan fungsi yang berkebalikan dengan fungsi asal yaitu fungsi f dimana fungsi g ini memetakan kembali y ke x yang selanjutnya hasil pemetaannya dinamakan dengan g(y). Fungsi invers dinyatakan dengan cara menuliskan fungsi asal dan diberi pangkat negatif satu. Dengan demikian fungsi g(y) dapat dinyatakan dengan g(y) = f ^-1.

Cara Menentukan Fungsi Invers

Sebuah fungsi dikatakan memiliki fungsi invers jika fungsi tersebut adalah fungsi bijektif. Mengapa demikian? Hal ini dikarenakan pada fungsi bijektif tidak ada anggota kodomain yang tidak memiliki pasangan dan banyak pasangannya adalah satu. Dengan demikian ketika dilakukan relasi kebalikannya, maka akan tetap terbentuk suatu fungsi. Fungsi inilah yang dinamakan dengan fungsi invers.

Misalkan dipunyai fungsi f : A ⟶ B dimana fungsi f adalah fungsi bijektif. Fungsi invers dari fungsi f adalah suatu fungsi yang memasangkan setiap anggota B dengan tepat satu anggota di A. Fungsi invers dari fungsi f dapat dinyatakan dengan f ^-1. Adapun langkah-langkah untuk menentukan fungsi invers tersebut antara lain:

1.      Memisalkan fungsi f(x) = y;

2.      Melakukan pengoperasian sehingga didapati persamaan x = f(y);

3.      Mengubah x menjadi f ^-1(y);

4.      Mengubah y menjadi x sehingga didapati f ^-1(x).

Untuk memahami langkah-langkah tersebut, cermatilah contoh soal di bawah ini dengan baik.

Contoh 1:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = 3x + 5. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = 3x + 5

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

f(x)         =  y

3x + 5     =  y

3x           =  y – 5

x             =  \(\frac{y - 5}{3}\)

f ^-1(y)      =  \(\frac{y - 5}{3}\)

f ^-1(x)      =  \(\frac{x - 5}{3}\)

Contoh 2:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = \(\frac{2x – 3}{5x + 4}\). Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = \(\frac{2x - 3}{5x + 4}\)

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

f(x)         =  y

\(\frac{2x - 3}{5x + 4}\)       =  y

2x – 3     =  y(5x + 4)

2x – 3     =  5xy + 4y

2x – 5xy =  4y + 3

x(2 – 5y) =  4y + 3

x             =  \(\frac{4y + 3}{2 – 5y}\)

f ^-1(y)      =  \(\frac{4y + 3}{2 – 5y}\)

f ^-1(x)      =  \(\frac{4x + 3}{2 – 5x}\)

Contoh 3:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = x² – 8x + 12. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = x² – 8x + 12

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

f(x)                  =  y

x² – 8x + 12     =  y

x² – 8x             =  y – 12

x² – 8x + 16     =  y – 12 + 16

(x – 4)²               =  y + 4

x – 4                 =  ±\(\sqrt{y + 4}\)

x                       =  4 ±\(\sqrt{y + 4}\)

f ^-1(y)               =  4 ± \(\sqrt{y + 4}\)

f ^-1(x)               =  4 ±\(\sqrt{x + 4}\)

Contoh 4:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = x² + 10x + 16. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = x² + 10x + 16

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

f(x)                   =  y

x² + 10x + 16   =  y

x² + 10x           =  y – 16

x² + 10x + 25  =  y – 16 + 25

(x + 5)²              =  y + 9

x + 5                =  ±√(y + 9)

x                      =   -5 ± √(y + 9)

f ^-1(y)              =   -5 ± √(y + 9)

f ^-1(x)              =   -5 ± √(x + 9)

Demikian pembahasan tentang pengertian dan cara untuk menentukan fungsi invers. Semoga bermanfaat untuk semua.