Menentukan Invers Fungsi Komposisi Beserta Contoh Soalnya

MENENTUKAN INVERS FUNGSI KOMPOSISI BESERTA CONTOH SOALNYA 

Invers Fungsi Komposisi

Ingatkah kalian apa itu fungsi komposisi. Misalkan dipunyai fungsi f dan fungsi g dimana fungsi f : C → A dan fungsi g : B → C, maka fungsi komposisi f dan g dapat ditulis dengan f o g (dibaca f bundaran g) adalah sebuah fungsi yang ditentukan dengan aturan (f o g)(x) = f(g(x)). Penjelasan tersebut dapat kita pahami melalui gambar di bawah ini.

Fungsi Komposisi f o g

Melalui gambar fungsi komposisi di atas, kita dapat mengetahui bahwa range akhir dari fungsi komposisi tersebut terletak pada himpunan A. Dengan demikian ketika kita melakukan invers terhadap fungsi komposisi ( f o g ), maka domain awal terletak pada himpunan A atau pemasangan yang pertama terjadi adalah dari A ke C. Pamasangan pertama yang terjadi dari A ke C itu adalah kebalikan dari fungsi f sehingga bisa kita katakan sebagai f^-1. Selanjutnya, pemasangan yang kedua adalah dari C ke B yang merupakan kebalikan dari fungsi g sehingga disebut g^-1. Penjelasan ini dapat kita pahami melalui gambar di bawah ini.

Invers dari Fungsi Komposisi ( f o g )

Dari penjelasan di atas dan sesuai dengan definisi fungsi komposisi, maka fungsi yang pertama dikerjakan, yaitu fungsi f ^-1 diletakkan di sebelah kanan bundaran dan fungsi yang dikerjakan selanjutnya, yaitu fungsi g^-1 diletakkan di sebelah kiri bundaran. Dengan demikian invers dari fungsi komposisi (f o g) sama dengan (g^-1  o  f ^-1). Penjabaran tersebut dapat disederhanakan dalam bentuk rumus sebagai berikut.

Rumus Invers Fungsi Komposisi

Untuk mempermudah dalam memahami rumus di atas, cermatilah contoh soal di bawah ini.

Contoh 1:

Diketahui fungsi f dan fungsi g ditentukan oleh f(x) = 3x – 2 dan g(x) = (x – 5)/6. Tentukan invers dari fungsi komposisi dari ( f o g )^-1(x) !

Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = 3x – 2

g(x) = (x – 5)/6

Ditanya:

( f o g )^-1(x) ……………….?

Jawab:

( f o g )^-1(x)  = (g^-1  o  f ^-1)(x) .............  tuliskan rumusnya

Dari rumus tersebut, maka harus dicari terlebih dahulu f ^-1 dan g ^-1.

f(x) = 3x – 2 ⇔ f ^-1(x) = (x + 2)/3 .....  menentukan f ^-1(x)

g(x) = (x – 5)/6 ⇔ g ^-1(x) = 6x + 5 ........  menentukan g ^-1(x)

( f o g )^-1(x)    =  (g^-1  o  f ^-1)(x) .........  menuliskan ulang rumus

                       =  g^-1(f^-1(x)) ...............  mengubah (g^-1  o  f ^-1)(x)

                       =  g^-1[(x + 2)/3] ..........  mengubah f^-1(x)

                       =  6[(x + 2)/3] + 5 .....  mengubah g^-1(x)

                       =  2(x + 2) + 5 ...........  membagi 6 dan 3 dengan 3

                       =  2x + 4 + 5 .............  mengalikan 2 dengan dalam kurung

                       =  2x + 9 ....................  mengoperasikan 4 + 5

Contoh 2:

Diketahui fungsi f dan fungsi g ditentukan oleh f(x) = x – 5 dan g(x) = 2x + 4. Tentukan invers dari fungsi komposisi dari ( g o f )^-1(x) !

Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = x – 5

g(x) = 2x + 4

Ditanya:

( g o f )^-1(x) ……………….?

Jawab:

( g o f )^-1(x)  = (f^-1  o  g ^-1)(x) .............  tuliskan rumusnya

Dari rumus tersebut, maka harus dicari terlebih dahulu f ^-1 dan g ^-1.

f(x) = x – 5 ⇔ f ^-1(x) = x + 5.................. menentukan f ^-1(x)

g(x) = 2x + 4 ⇔g ^-1(x) = (x – 4)/2 ........  menentukan g ^-1(x)

( g o f )^-1(x)    =  (f^-1  o  g ^-1)(x) .........  menuliskan ulang rumus

                       =  f^-1(g^-1(x)) ...............  mengubah (f^-1  o  g ^-1)(x)

                       =  f^-1[(x – 4)/2] ..........  mengubah fungsi g ^-1(x)

                       =  [(x – 4)/2] + 5 ........  mengubah fungsi f ^-1(x)

                       =  (x – 4)/2 + 10/2 .....  menyamakan penyebut

                       =  (x – 4 + 10)/2 ........  menggabung dua pecahan

                       = (x + 6)/2 .................  mengoperasikan -4 + 10

Dua soal di atas merupakan contoh penerapan rumus invers fungsi komposisi. Selain dengan menggunakan rumus tersebut, kita dapat menentukan invers fungsi komposisi dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi komposisinya. Setelah didapati fungsi komposisi, barulah kita menentukan inversnya. Untuk memahami penjelasan ini, silahkan kalian cermati contoh-contoh soal ini.

Contoh 3:

Diketahui fungsi f dan fungsi g ditentukan oleh f(x) = 3x – 2 dan g(x) = (x – 5)/6.  Tentukan invers dari fungsi komposisi dari ( f o g )^-1(x) !

Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = 3x – 2

g(x) = (x – 5)/6

Ditanya:

( f o g )^-1(x) ……………….?

Jawab:

Untuk menentukan ( f o g )^-1(x), maka kita harus menentukan terlebih dahulu ( f o g )(x).

 ( f o g )(x)    =  f(g(x))

                     =  f[(x – 5)/6] ...  ganti g(x) dengan (x – 5)/6

                     =  3[(x – 5)/6] – 2 ....  ganti f(x) sesuai persamaan

                     =  (x – 5)/2 – 2 .........  bagi 3 dan 6 dengan bilangan 3

                     =  (x – 5)/2 – 4/2 ......  samakan penyebut

                     =  (x – 5 – 4)/2 .........  gabungkan dua pecahan

( f o g )(x)    =  (x – 9)/2 ...............  operasikan -5 – 4 menjadi -9

Setelah didapati ( f o g )(x), Inverskan fungsi komposisi yang didapat tadi dengan langkah-langkah untuk menentukan invers atau dengan cara cepat. Berikut ini akan digunakan langkah-langkah biasa dalam penentuan invers dari fungsi komposisi tersebut.

( f o g )(x)       =  y ...................  menuliskan ( f o g )(x) = y

(x – 9)/2         =  y ...................  mengubah ( f o g )(x) dengan (x – 9)/2.

x – 9               =  (y)(2) ............  menggunakan perkalian silang

x – 9               =  2y .................  mengoperasikan y dikali 2

x                     =  2y + 9 ...........  memindah -9 ke ruas kanan

( f o g )^-1(y)   =  2y + 9 ...........  mengubah x menjadi ( f o g )^-1(y)

( f o g )^-1(x)   =  2x + 9 ...........  mengubah y menjadi x

Demikian penjelasan terkait materi invers fungsi komposisi. Somoga materi ini dapat bermanfaat untuk semua.