Ukuran Sudut Derajat dan Radian Beserta Contoh Soalnya

 UKURAN SUDUT DERAJAT DAN RADIAN BESERTA CONTOH SOALNYA

Ukuran Sudut: Derajat dan Radian

Masih ingatkah kalian apa itu sudut? Sudut adalah suatu daerah yang dibatasi oleh dua sinar dengan titik pangkal yang sama. Dari pengertian itu, didapati bahwa sudut sendiri sebenarnya merupakan suatu daerah tertentu. Nah karena berupa daerah, tentunya sudut memiliki suatu ukuran tertentu. Apa saja bentuk-bentuk ukuran sudut? Untuk menjawabnya, mari kita pelajari materi ini dengan seksama.

Ukuran Derajat

Ukuran derajat adalah ukuran sudut yang dibentuk dari bidang datar dan dinyatakan dengan satuan “ ^o ”. Satu derajat sendiri digambarkan sama dengan 1/360 putaran penuh. Dengan demikian, satu putaran penuh pada sebuah lingkaran sama dengan 360^o.

Selain ukuran derajat, terdapat ukuran-ukuran sudut lain yang lebih kecil dibandingkan ukuran derajat, diantaranya menit ( ‘ ) dan detik ( “ ). Kedua ukuran tersebut sangat berkaitan dengan ukuran derajat. Adapun hubungan dari ketiga ukuran sudut tersebut antara lain:

1 derajat = 60 menit atau bisa dituliskan 1^o = 60’

1 menit = 60 detik atau bisa dituliskan 1’ = 60”

Dari kedua hubungan tersebut, maka kita dapat membentuk hubungan-hubungan yang lain antara ketiga ukuran sudut tersebut, yaitu:

1 derajat = 3600 detik atau bisa dituliskan 1^o = 3600”

1 menit = 1/60 derajat atau bisa dituliskan 1’ = (1/60)^o

1 detik = 1/60 menit atau bisa dituliskan 1” = (1/60)”

1 detik = 1/3600 derajat atau bisa dituliskan 1” = (1/3600)^o

Untuk mempermudah dalam memahami hubungan-hubungan di atas, silahkan kalian coba cermati contoh soal di bawah ini.

Contoh 1:

Diberikan sebuah sudut dengan besar 45^o. Nyatakan besar sudut tersebut dalam menit!

Penyelesaian:

45^o       =  45 × 60’ ...................  kalikan 60’ sesuai aturan

             =  2700’ .....................  hasil 45 × 60’

Contoh 2:

Diberikan sebuah sudut dengan besar 1800”. Nyatakan besar sudut tersebut dalam derajat!

Penyelesaian:

1800”  =  1800 × (1/3600)^o...... kalikan (1/3600)^o

            =  (1800/3600)^o.......... kalikan 1800 dengan 1

            =  (1/2)^o .....................  1800 dan 3600 dibagi 1800

            = 0,5^o .........................  ubah dalam bentuk desimal

Contoh 3:

Nyatakan sudut 30^o 30’ 90” dalam bentuk derajat!

Penyelesaian:

30^o 30’ 90” sama dengan 30^o + 30’ + 90”

Untuk menyatakan besar sudut tersebut, maka kita harus mengubah setiap ukuran dalam bentuk derajat.

30’       =  30 × (1/60)^o .............  kalikan (1/60)^o sesuai aturan

            =  (30/60)^o.................. kalikan 30 dan 1

            =  (1/2)^o .....................  bagi dengan 30

            =  0,5^o ........................  ubah dalam desimal

90”      =  90 × (1/3600)^o.......... kalikan (1/3600)^o sesuai aturan

            =  (90/3600)^o .............  kalikan 90 dan 1 sesuai aturan

            =  0,025^o ....................  ubah dalam derajat

Dari perhitungan di atas maka:

30^o 30’ 90”      =  30^o + 30’ + 90”

                        =  30^o + 0,5^o + 0,025^o

                        = 30,525^o

Jadi, 30^o 30’ 90” = 30,525^o apabila dinyatakan dalam ukuran derajat.

Ukuran Radian

Ukuran radian adalah ukuran sudut yang dinyatakan dengan satuan radian atau biasa disingkat dengan “rad”. Satu radian atau 1 rad adalah ukuran sudut yang menyatakan besarnya sudut yang terbentuk oleh dua jari-jari yang memiliki panjang 1 meter dimana dua jari-jari tersebut membentuk sebuah busur dengan panjang 1 meter. Adapun penggambaran dari penjelasan itu antara lain sebagai berikut. 

Lingkaran

Dari penggambaran di atas, maka kita bisa melihat bahwa antara besar sudut dalam radian, panjang jari-jari, dan panjang busur lingkaran saling berhubungan satu dengan yang lainnya. Oleh karena itu, kita dapat menentukan besar sudut dalam radian dari hal tersebut.

Selanjutnya, diketahui sebuah lingkaran dengan pusat di O, panjang jari-jari r dan panjang busur AB sama dengan s yang digambarkan sebagai berikut.

Lingkaran

Untuk menentukan besar sudut dalam radian yang dilambangkan dengan simbol θ, maka kita dapat menggunakan rumus sebagai berikut.

rumus besar sudut dalam radian

Agar kalian lebih mudah dalam memahami hubungan atau rumus di atas, silahkan kalian coba pelajari beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1:

Diberikan sebuah lingkaran dengan panjang jari-jari 4 cm. Tentukan besar sudut pusat lingkaran tersebut dalam satuan radian jika diketahui sudut pusat tersebut menghadap busur yang memiliki panjang 20 cm!

Penyelesaian:

Diketahui:

Panjang jari-jari :  r  =  4 cm

Panjang busur : s =  20 cm

Ditanya:

Besar sudut dalam radian : θ = ………….?

Jawab:

θ             =  s/r .......................  tuliskan rumus

               =  20/4 ....................  masukkan nilai

               =  5 rad ...................  bagi 20 dengan 4

Jadi, besar sudut pusat yang menghadap busur dengan panjang 20 cm adalah 5 rad.

Contoh 2:

Diberikan sebuah lingkaran dengan panjang jari-jari 7 cm. Jika terdapat sebuah sudut pusat dengan besar 4 rad pada lingkaran tersebut, tentukan panjang busur yang menghadap sudut pusat tersebut !

Penyelesaian:

Diketahui:

Panjang jari-jari :  r  =  7 cm

Besar sudut : θ =  4 rad

Ditanya:

Panjang busur : s = ………….?

Jawab:

s              =  θ × r ........................  tuliskan rumus

               =  4 × 7 .....................  masukkan nilai ke rumus

               =  28 cm ................. kalikan 4 dan 8

Jadi, panjang busur yang menghadap sudut pusat adalah 28 cm.

Contoh 3:

Tentukan panjang jari-jari dari sebuah lingkaran yang memiliki besar sudut pusat 6 rad dan panjang busur yang menghadap sudut tersebut adalah 24 cm !

Penyelesaian:

Diketahui:

Besar sudut :  =  6 rad

Panjang busur : s = 24 cm

Ditanya:

Jari-jari : r = ………….?

Jawab:

r              =  s/θ  .......................  tuliskan rumus

               =  24/6 ....................  masukkan nilai ke rumus

               =  4 cm ...................  bagi 24 dan 6

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang dimaksud adalah 4 cm.

Hubungan Ukuran Derajat dan Radian

Setelah kalian selesai mempelajari ukuran derajat dan radian, permasalahan selanjutnya yang akan muncul adalah bagaimana cara untuk mengubah ukuran sudut dari derajat ke radian atau sebaliknya. Nah, untuk menjawab pertanyaan tersebut, silahkan kalian cermati materi ini dengan baik.

Mengubah Ukuran Derajat Menjadi Radian

Misalkan dipunyai sebuah sudut dengan satuan derajat dan disimbolkan dengan D. Untuk mengubah besar sudut tersebut dalam bentuk radian yang dinyatakan dengan simbol R, maka kita dapat memanfaatkan rumus:

Rumus Konversi ke Radian

Untuk memahami bagaimana cara penggunaan rumus di atas, mari kita pelajari beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1:

Diberikan sebuah sudut dengan besar 60^o. Nyatakan besar sudut tersebut dalam satuan radian !

Penyelesaian:

Diketahui:

Besar sudut  derajat : D =  60^o

Ditanya:

Besar sudut radian : R = ………….?

Jawab:

R            =  D × (π/180) rad .......  menuliskan rumus

               =  60 × (π/180) rad ..........  memasukkan nilai

               =  (60π/180) rad ..........  melakukan perkalian

               =  (1π/3) rad .......  menyederhanakan 60 dan 180

               =  (1/3)π rad .............  mengeluarkan π dari (1π/3)

Jadi, besar sudut 60^o jika dinyatakan dalam radian adalah (1/3)π rad.

Contoh 2:

Diberikan sebuah sudut dengan besar 150^o. Nyatakan besar sudut tersebut dalam satuan radian !

Penyelesaian:

Diketahui:

Besar sudut  derajat : D =  150^o

Ditanya:

Besar sudut radian : R = ………….?

Jawab:

R            =  D × (π/180) rad ....  menuliskan rumus

               =  150 × (π/180) rad .  memasukkan nilai ke rumus

               =  (150π/180) rad ..... mengalikan dengan 150

               =  (5π/6) rad ............. membagi dengan 30

               =  (5/6)π rad .............  mengeluarkan

Jadi, besar sudut 60^o jika dinyatakan dalam radian adalah (5/6)π rad.

Mengubah Ukuran Radian Menjadi Derajat

Misalkan dipunyai sebuah sudut dengan satuan radian dan disimbolkan dengan R. Untuk mengubah besar sudut tersebut dalam bentuk derajat yang dinyatakan dengan simbol D, maka kita dapat memanfaatkan rumus:

Rumus Konversi ke Derajat

Untuk memahami bagaimana cara penggunaan rumus di atas, mari kita pelajari beberapa contoh di bawah ini.

Contoh 1:

Diberikan sebuah sudut dengan besar 2π rad. Nyatakan besar sudut tersebut dalam satuan derajat!

Penyelesaian:

Diketahui:

Besar sudut radian : R =  2π rad

Ditanya:

Besar sudut derajat : D = ………….?

Jawab:

D            =  R × (180^o/π) ...............  menuliskan rumus

               =  2π  × (180^o/π) ................  memasukkan nilai

               =  (360π^o/π) ......................  mengalikan 2 dan 180

               =  360^o ..........................  membagi dengan π

Jadi, besar sudut 2π rad jika dinyatakan dalam derajat adalah 360^o.

Contoh 2:

Diberikan sebuah sudut dengan besar (1/6)π rad. Nyatakan besar sudut tersebut dalam satuan derajat !

Penyelesaian:

Diketahui:

Besar sudut radian : R =  (1/6)π rad

Ditanya:

Besar sudut derajat : D = ………….?

Jawab:

D            =  R × (180^o/π) ...............  menuliskan rumus

               =  (1/6)π × (180^o/π) ........ memasukkan nilai ke rumus  

               =  (180π^o/6π) ................. melakukan perkalian

               =  30^o ............................ membagi dengan π

Jadi, besar sudut (1/6)π rad jika dinyatakan dalam derajat adalah 30^o.

Demikian penjelasan terkait materi ukuran sudut derajat dan radian beserta contoh soalnya. Semoga penjelasan tersebut bermanfaat untuk semua.