Rumus Cepat Untuk Menentukan Fungsi Invers Berikut Contoh Soalnya

RUMUS CEPAT UNTUK MENENTUKAN FUNGSI INVERS BERIKUT CONTOH SOALNYA 

Rumus Cepat Fungsi Invers

Masih ingatkah kalian apa itu fungsi invers. Fungsi invers adalah sebuah fungsi yang berkebalikan dengan fungsi asalnya. Misalkan kita memiliki fungsi f(x). Fungsi invers dari fungsi f(x) adalah f ^-1(x). Untuk menentukan f ^-1(x), langkah-langkah yang harus dilakukan antara lain sebagai berikut.

1.      Memisalkan fungsi f(x) = y;

2.      Melakukan pengoperasian sehingga didapati persamaan x = f(y);

3.      Mengubah x menjadi f ^-1(y);

4.      Mengubah y menjadi x sehingga didapati f ^-1(x).

Untuk mengingatkan kembali kalian dengan langkah-langkah tersebut, kalian bisa membuka kembali materi Pengertian dan Cara Untuk Menentukan Fungsi Invers.

Selain menggunakan langkah di atas, ada cara lain yang dapat kita gunakan untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi tertentu. Cara tersebut adalah dengan menggunakan rumus fungsi invers. Berikut akan disajikan beberapa rumus cepat untuk menentukan fungsi invers dari berbagai bentuk fungsi.

Tabel Rumus Fungsi Invers

Untuk mempermudah dalam mempelajari rumus tersebut, silahkan kalian coba pahami contoh soal di bawah ini.

Contoh 1:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = 3x + 5. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = 3x + 5; a = 3, b = 5

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

Menggunakan rumus cepat:

f ^-1 (x)     =  (x – b)/a ......  tuliskan rumus

               =  (x – 5)/3..... ganti a dan b

Pembuktian dengan cara biasa:

f(x)         =  y ................  menuliskan f(x) = y

3x + 5     =  y ................  mengganti f(x) dengan 3x + 5

3x           =  y – 5 ..........  memindahkan +5 ke ruas kanan menjadi -5

x             =  (y – 5)/3 ....  memindahkan 3 ke ruas kanan menjadi bagi 3

f ^-1(y)      =  (y – 5)/3 ....  mengubah x menjadi f ^-1(y)

f ^-1(x)      =  (x – 5)/3 ....  mengubah y menjadi x

Dari perhitungan di atas, didapati fungsi invers dari f(x) = 3x + 5 adalah f ^-1 (x) = (x – 5)/3.

Contoh 2:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = (2x - 3)/(5x + 4). Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = (2x - 3)/(5x + 4) ; a = 2, b = -3, c = 5, d = 4

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

Menggunakan rumus cepat:

f ^-1 (x)     =  (-dx + b)/(cx – a) .......  menuliskan rumus

               =  (-4x + (-3))/(5x – 2) ...  mengganti setiap variabel

               =  (-4x – 3)/(5x – 2) .......  mengoperasikan pembilang menjadi -

               =  [-(4x + 3)]/[-(-5x + 2)] … menggunakan sifat distributif

               =  (4x + 3)/(-5x + 2) … membagi negatif di depan

               =  (4x + 3)/(2 – 5x) … balik penyebut dengan sifat komutatif

Pembuktian dengan cara biasa:

f(x)         =  y ................  menuliskan f(x) = y

(2x - 3)/(5x + 4)   =  y  mengubah fungsi f(x)

2x – 3     =  y(5x + 4) ...  melakukan perkalian silang

2x – 3     =  5xy + 4y ....  mengalikan y dengan di dalam kurung

2x – 5xy =  4y + 3......... memindahkan suku bervariabel x ke kiri

x(2 – 5y) =  4y + 3 ........  mengeluarkan x dengan sifat distributif

x             =  (4y + 3)/(2 – 5y)    memindahkan (2-5y) ke ruas kanan

f ^-1(y)      =  (4y + 3)/(2 – 5y)   mengubah x menjadi f ^-1(y)

f ^-1(x)      =  (4x + 3)/(2 – 5x)   mengubah y menjadi x.

Dari perhitungan di atas, didapati fungsi invers dari f(x) = (2x – 3)/(5x+4) adalah f ^-1(x) = (4x + 3)/(2 – 5x).

Contoh 3:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = x² – 8x + 12. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = x² – 8x + 12 ; a = 1, b = -8, c = 12

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

Menggunakan rumus cepat:

f ^-1 (x)     =  [-b ± √(b² – 4a(c – x))]/2a .......  menuliskan rumus yang sesuai

               =  [-(-8) ± √((-8)² – 4(1)(12 – x))]/2(1)... memasukkan nilai

               =  [8 ± √(64 – 4(12 – x))]/2 ........  mengoperasikan bilangan

               =  [8 ± √(64 – 48 + 4x)]/2 ...........  mengalikan yang di dalam kurung

               =  [8 ± √(16 + 4x)]/2 ...................  sederhanakan yang di akar

               =  [8 ± √(4(4 + 4x))]/2 ................  menggunakan sifat distributif

               =  [8 ± 2√(4 + 4x)]/2 ...................  menyederhanakan 4 dalam akar

               =  2[4 ± √(4 + 4x)]/2 ...................  menggunakan sifat distributif

               =  4 ± √(4 + 4x) ..........................  bagi 2 pembilang dan penyebut

               =  4 ± √(4x + 4) ..........................  menggunakan sifat komutatif

Pembuktian dengan cara biasa:

f(x)                  =  y ..  menuliskan f(x) = y

x² – 8x + 12     =  y ..  mengubah fungsi f(x) dengan x² – 8x + 12

x² – 8x             =  y – 12 .. memindahkan +12 ke kanan

x² – 8x + 16     =  y – 12 + 16 … masing-masing ruas ditambah (-8/2)²

(x – 4)²               =  y + 4 .....  sederhanakan masing-masing ruas

x – 4                 =  ±√(y + 4) ....  pindah ruas kuadrat menjadi akar

x                       =  4 ± √(y + 4) … pindah ruas -4 ke ruas kanan

f ^-1(y)               =  4 ± √(y + 4) ....  mengubah x menjadi f ^-1(y)

f ^-1(x)               =  4 ± √(x + 4)......  mengubah y menjadi x

Dari perhitungan di atas, didapati fungsi invers dari f(x) = x² – 8x + 12 adalah f ^-1(x) = 4 ± √(x + 4)

Contoh 4:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = √(2x + 5). Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = √(2x + 5) ; a = 2, b = 5, n = 2

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

Menggunakan rumus cepat:

f ^-1 (x)     =  (xⁿ – b)/a .....................  menuliskan rumus invers

               =  (x² – 5)/2 .....................  memasukkan nilai ke rumus

Pembuktian dengan cara biasa:

f(x)                  =  y ..  menuliskan f(x) = y

√(2x + 5)         =  y ..  mengubah fungsi f(x)

2x + 5              =  y² .  memindahkan akar ke ruas kanan

2x                    =  y² – 5 ....  memindahkan +5 ke ruas kanan

x                      =  (y² – 5)/2 .....  memindahkan 2 ke ruas kanan

f ^-1 (y)              =  (y² – 5)/2....... mengubah x menjadi f ^-1 (y)

f ^-1 (x)              =  (x² – 5)/2 ......  mengubah f ^-1 (y) menjadi f ^-1 (x)

Dari perhitungan di atas, didapati fungsi invers dari f(x) =  √(2x + 5) adalah f ^-1(x) = (x² – 5)/2.

Contoh 5:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = ²log 5x. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = ²log 5x ; a = 2, c = 5

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

Menggunakan rumus cepat:

f ^-1 (x)     =  a^x/c ......  menuliskan rumus invers

               =  2^x/5 ......  memasukkan nilai ke rumus

Pembuktian dengan cara biasa:

f(x)                    =  y ..........  menuliskan f(x) = y

²log 5x              =  y ..........  mengubah fungsi f(x)

(log 5x)/(log 2) =  y ..........  mengubah ²log 5x menjadi (log 5x)/(log 2)

log 5x               =  y(log 2) ....  melakukan perkalian silang

log 5x               =  log 2^y........ mengubah y(log 2) menjadi log 2^y

5x                     =  2^y .............  karena basis sama, maka dalamnya sama

x                       =  2^y/5 ..........  memindahkan 5 ke ruas kanan

f ^-1 (y)              =  2^y/5 ..........  mengubah x menjadi f ^-1 (y)

f ^-1 (x)              =  2^x/5 ..........  mengubah f ^-1 (y) menjadi f ^-1 (x)

Dari perhitungan di atas, didapati fungsi invers dari f(x) = ²log 5x adalah f ^-1(x) = 2^x/5.

Contoh 6:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R dengan f(x) = 2^3x. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian:

Diketahui:

f(x) = 2^3x; a = 2, c = 3

Ditanya:

f ^-1 (x) ……………….?

Jawab:

Menggunakan rumus cepat:

f ^-1 (x)     =  (1/c) ^alog x ..........  menuliskan rumus invers

                =  (1/3) ²log x .........  memasukkan nilai ke rumus

Pembuktian dengan cara biasa:

f(x)                  =  y ..........  menuliskan f(x) = y

2^3x                   =  y ..........  mengubah f(x) dengan 2^3x

log 2^3x            =  log y .... mengubah menjadi log pada tiap ruas

(3x)log 2         =  log y ....  mengubah log 2^3x sesuai sifat

3x                    =  (log y)/( log 2) ..  memindah ruas log 2

3x                    =  ²log y.... mengubah (log y)/( log 2)

x                      =  (1/3) ²log y ... memindah 3 ke ruas kanan

f ^-1 (y)             =  (1/3) ²log y ...  mengubah x menjadi f ^-1 (y)

f ^-1 (x)             =  (1/3) ²log x ...  mengubah f ^-1 (y) menjadi f ^-1 (x)

Dari perhitungan di atas, didapati fungsi invers dari f(x) = 2^3x adalah f ^-1(x) = (1/3) ²log x.

Demikian penjelasan terkait rumus cepat untuk menentukan fungsi invers berikut contoh soalnya. Perlu dipahami bahwa penggunaan rumus cepat ini adalah sebagai alat bantu yang mempermudah kita dalam menentukan fungsi invers dari suatu fungsi. Namun yang paling utama adalah kita harus memahami terlebih dahulu konsep dasar tentang apa itu invers dan bagaimana cara untuk menentukan fungsi invers itu sendiri.