RUMUS CEPAT UNTUK MENENTUKAN FUNGSI f JIKA FUNGSI g dan ( f o g ) DIKETAHUI
 |
| Fungsi Komposisi dalam Bentuk Diagram Panah |
Masih
ingatkah kalian bagaimana cara untuk menentukan fungsi f jika fungsi g dan ( f
o g ) diketahui. Untuk menentukan fungsi f tersebut, maka ada beberapa langkah
yang harus kita lalui. Untuk mengingat kembali langkah-langkah tersebut,
silahkan kalian bisa buka laman materi cara menentukan fungsi f jika fungsi g dan ( f o g ) diketahui.
Pada laman tersebut, kita disajikan materi tentang bagaimana cara untuk menentukan fungsi pembentuk fungsi komposisi yang letaknya di sebelah kiri bundaran dengan fungsi komposisi dan fungsi pembentuk fungsi komposisi yang letaknya di sebelah kanan bundaran sudah diketahui terlebih dahulu. Selain materi tersebut, kita juga disuguhkan beberapa contoh soal terkait materi tersebut yang disertai dengan pembahasannya. Berikut adalah salah satu contoh soal berikut pembahasan terkait materi tersebut.
Contoh 1:
Diketahui fungsi f : R → R dan fungsi g : R → R dengan f(x) = 2x – 1 dan fungsi komposisi ( g o f )(x) = 4x² + 4x – 2. Tentukan rumus fungsi g(x) !
Pembahasan:
Diketahui:
f(x) = 2x – 1
( g o f )(x) = 4x² + 4x – 2
Ditanya: g(x) ……………….?
Jawab:
( g o f )(x) = 4x² + 4x – 2
g(f(x)) = 4x² + 4x – 2
g(2x – 1) = 4x² + 4x – 2
Misalkan 2x – 1 = p
⇔2x = p + 1
⇔x = \(\frac{p + 1}{2}\)
g(2x – 1) = 4x² + 4x – 2
g(p) = 4\(\left(\frac{p + 1}{2} \right)^{2}\) + 4\(\left(\frac{p + 1}{2} \right)\) – 2
g(p) = 4\(\left(\frac{p^{2} + 2p + 1}{4} \right)\) + 4\(\left(\frac{p + 1}{2} \right)\) – 2
g(p) = (p² + 2p + 1) + 2(p + 1) – 2
g(p) = p² + 2p + 1 + 2p + 2 – 2
g(p) = p² + 2p + 2p + 1 + 2 – 2
g(p) = p² + 4p + 1
g(x) = x² + 4x + 1
Berdasarkan
contoh soal dan pembahasan di atas, jelas kita membutuhkan langkah yang sangat
panjang ketika kita ingin menentukan fungsi f tersebut. Dengan panjangnya
langkah tersebut, maka kemungkinan salah dalam melakukan perhitungan pun akan
semakin besar. Apalagi dengan adanya langkah penjabaran bentuk kuadrat, tentu membuat
kita lebih sulit dalam melakukan perhitungan. Dengan adanya kondisi tersebut,
maka dibutuhkan suatu rumus tertentu yang mempermudah kita dalam menentukan fungsi
pembentuk fungsi komposisi yang letaknya di sebelah kiri tersebut.
Berikut
ini akan dijelaskan rumus cepat untuk menentukan fungsi komposisi yang letaknya
di sebelah kiri dengan bentuk fungsi komposisinya adalah fungsi kuadrat.
Menentukan Fungsi f(x) dengan Fungsi g(x) = mx + n
Misalkan dipunyai fungsi f : R ⟶ R dan g : R ⟶ R dengan fungsi g(x) = mx + n dan ( f o g )(x) = px² + qx + r, fungsi f(x) merupakan fungsi dengan bentuk f(x) = ax² + bx + c. Fungsi tersebut dapat ditentukan dengan cara mencari nilai a, b, dan c yang menggunakan rumus:
a = \(\frac{p}{m^{2}}\)
b = \(\frac{q – 2amn}{m}\)
c = r – an² – bn
Untuk memahami rumus tersebut, perhatikanlah contoh-contoh
soal di bawah ini dengan baik.
Contoh 2:
Diketahui fungsi f : R → R dan fungsi g : R → R dengan g(x) = 2x – 1 dan fungsi komposisi ( f o g )(x) = 4x² + 4x – 2. Tentukan rumus fungsi f(x) !
Pembahasan:
Diketahui:
g(x) = 2x – 1, maka m = 2, n = -1
( f o
g )(x) = 4x² + 4x – 2, maka p = 4, q = 4, r = -2
Ditanya:
f(x) ……………….?
Jawab:
Karena
fungsi g(x) = mx + n dan ( f o g )(x) = px² + qx + r, maka fungsi
f(x) berbentuk f(x) = ax² + bx + c.
a = \(\frac{p}{m^{2}}\)
= \(\frac{4}{2^{2}}=\frac{4}{4}\)
a = 1
b = \(\frac{q - 2amn}{m}\)
= \(\frac{4 - 2 \left(1\right)\left(2\right)\left(-1\right)}{2}\)
= \(\frac{4 + 4}{2}=\frac{8}{2}\)
b = 4
c = r – an² – bn
= (-2) – (1)(-1)² – 4(-1)
= -2 – 1 + 4
c = 1
Didapati
a = 1, b = 4, dan c = 1 sehingga didapati f(x) = 1x² + 4x + 1.
Contoh 3:
Diketahui fungsi f : R → R dan fungsi g : R → R dengan g(x) = 2x + 3 dan fungsi komposisi ( f o g )(x) = 8x² + 20x + 11. Tentukan rumus fungsi f(x) !
Pembahasan:
Diketahui:
g(x) = 2x + 3, maka m = 2, n = 3
( f o
g )(x) = 8x² + 20x + 11, maka p = 8, q = 20, r = 11
Ditanya:
f(x) ……………….?
Jawab:
Karena
fungsi g(x) = mx + n dan ( f o g )(x) = px² + qx + r, maka fungsi
f(x) berbentuk f(x) = ax² + bx + c.
a = \(\frac{p}{m^{2}}\)
= \(\frac{8}{2^{2}}=\frac{8}{4}\)
a = 2
b = \(\frac{q - 2amn}{m}\)
= \(\frac{20 - 2 \left(2\right)\left(2\right)\left(3\right)}{2}\)
= \(\frac{20 - 24}{2} = \frac{-4}{2}\)
= -2
c = r – an² – bn
= 11 – (2)(3)² – (-2)(3)
= 11 – 18 + 6
c = -1
Didapati
a = 2, b = -2, dan c = -1 sehingga didapati f(x) = 2x² – 2x – 1.
Menentukan Fungsi f(x) dengan Fungsi g(x) = ax² + bx + c
Misalkan dipunyai fungsi f : R ⟶ R dan g : R ⟶ R dengan fungsi g(x) = ax² + bx + c dan ( f o g )(x) = px² + qx + r, fungsi f(x) merupakan fungsi dengan bentuk f(x) = mx + n. Fungsi tersebut dapat ditentukan melalui pencarian nilai m dan n dengan menggunakan rumus:
m = \(\frac{p}{a}\)
n = r – mc
Contoh 4:
Diketahui fungsi f : R → R dan fungsi g : R → R dengan g(x) = x² + 2x – 2 dan fungsi komposisi ( f o g )(x) = 3x² + 6x – 7. Tentukan rumus fungsi f(x) !
Pembahasan:
Diketahui:
g(x) = x² + 2x – 2, maka a = 1, b = 2, c = -2
( f o
g )(x) = 3x² + 6x – 7, maka p = 3, q = 6, r = -7
Ditanya:
f(x) ……………….?
Jawab:
Karena
fungsi g(x) = ax² + bx + c dan ( f o g )(x) = px² + qx +
r, maka fungsi f(x) berbentuk f(x) = mx + n.
m = \(\frac{p}{a}\)
= \(\frac{3}{1}\)
m = 3
n = r – mc
= -7 – (3)(-2)
= -7 + 6
n = -1
Contoh 5:
Diketahui fungsi f : R → R dan fungsi g : R → R dengan g(x) = 4x² – 3x + 5 dan fungsi komposisi ( f o g )(x) = 8x² – 6x + 13. Tentukan rumus fungsi f(x) !
Pembahasan:
Diketahui:
g(x) = 4x² – 3x + 5, maka a = 4, b = -3, c = 5
( f o
g )(x) = 8x² – 6x + 13, maka p = 8, q = -6, r = 13
Ditanya:
f(x) ……………….?
Jawab:
Karena
fungsi g(x) = ax² + bx + c dan ( f o g )(x) = px² + qx +
r, maka fungsi f(x) berbentuk f(x) = mx + n.
m = \(\frac{p}{a}\)
= \(\frac{8}{4}\)
m = 2
n = r – mc
= 13 – (2)(5)
= 13 – 10
n = 3
Didapati
m = 2 dan n = 3, sehingga didapati f(x) = 2x + 3.
Demikian pembahasan rumus cepat tentang bagaimana cara untuk menentukan fungsi f jika fungsi g dan ( f o g ) diketahui. Semoga materi ini bermanfaat untuk semua.
